Tensor de Weyl

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Em geometria diferencial, o tensor da curvatura de Weyl, em homenagem a Hermann Weyl, é uma medida da curvatura do espaço-tempo ou, mais genericamente, uma variedade pseudo-Riemanniana. Como o tensor da curvatura de Riemann, o tensor de Weyl expressa a força de maré que um corpo sente quando se desloca ao longo de uma linha geodésica[1] [2] .

Definição[editar | editar código-fonte]

O tensor de Weyl pode ser obtido a partir do tensor curvatura total, subtraindo a vários vestígios. Isso é mais facilmente feito escrevendo o tensor de Riemann como um (0,4) tensor valência (através da contratação com a métrica). A (0,4) valência Weyl tensor é então[3] C = R - \frac{1}{n-2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{n}g\right) \wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc g - \frac{s}{2n(n-1)}g \wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc g

onde n é a dimensão da variedade, g é a métrica, R é o tensor de Riemann, Ric é o tensor de Ricci, s é a escalar de curvatura, e h \wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc k representa o produto de Kulkarni-Nomizu[4] de dois (0,2) tensores simétricos:

(h \wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc k)(v_1,v_2,v_3,v_4) = h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)\, {}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)\,

O valente normal (1,3) tensor de Weyl é dado através da contração acima, com o inverso da métrica.

Referências

  1. Rubén Sánchez-Sánchez y César Mora (Dezembro de 2009). Espacios de Einstein tipo N Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 1, Jan. 2010 236. Página visitada em 11/dez./2013.
  2. William O. Straub, PhD (4/14/2006). Simple Derivation of the Weyl Conformal Tensor weylmann.com. Página visitada em 11/dez./2013.
  3. Petersen, Peter (2006), pg. 92, Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics 171 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag.
  4. Gallot, S., Hullin, D. e Lafontaine, J.. Riemannian Geometry. [S.l.]: Springer-Verlag, 1990.


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