Tensor simétrico

Em matemática, um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob uma permutação de seus argumentos de vetor. Tensores simétricos de rank dois são apenas matrizes simétricas, e então são algumas vezes chamados formas quadráticas. Em termos mais abstratos, tensores simétricos de rank geral são isomórficos a formas algébricas; isto é, polinômios homogêneos e tensores simétricos são a mesma coisa. Um conceito relacionado é o tensor antisimétrico ou forma alternativa; entretanto, tensores anti-simétricos tem propriedades que são muito diferentes dos tensores simétricos, e dividem pouco em comum. Tensores simétricos ocorrem frequentemente em engenharia, física e matemática.

Definição

Um tensor de segunda ordem é apenas uma matriz. Uma matrix A , com componentes A_ij, é dito ser simétrico se

A_ij = A_ji

para todo i, j. Usando notação de vetores, uma matriz é simétrica se, para vetores v e w, uma tem

$\ A(v,w)=A(w,v)$

Usando notação de tensores, dados vetores base $e_i$, seus duais $e^*_i$, pode-se escrever uma matriz em termos do tensor produto da base dual como

$A=\sum_{i,j=1}^n A_{ij} e^*_i \otimes e^*_j$

e assim, para uma matriz simétrica, tem-se

$A(v \otimes w) = A(w \otimes v)$

Mais genericamente, os componente de um tensor simétrico de ordem m satisfazem

$A_{i_1 i_2 \cdots i_m} = A_{i_{\pi(1)} i_{\pi(2)} \cdots i_{\pi (m)}}$

para qualquer permutação $\pi$. Equivalentemente, pode-se escrever

$A(v_1,v_2,\cdots,v_m) = A(v_{\pi(1)},v_{\pi(2)},\cdots,v_{\pi(m)})$

para vetores $v_1, v_2,\cdots$.

Polinômios homogêneos

O dual de $\mathrm{Sym}^r(V)$ é isomórfico ao espaço de polinômios homogêneos de grau r sobre V.

Sendo $f \in \mathrm{Sym}^2(V)$. Então $f = f^{ij} e_i \odot e_j$ e seu dual é $f^* = f_{ij} e^i \odot e^j$. O mapa $(\mathrm{Sym}^r(V))^* = \mathrm{Sym}^r(V^*) \to \mathrm{Poly}_r(V) : f^* \mapsto (v \mapsto f^*(v, v, \ldots, v))$ é um isomorfismo de álgebras.

Exemplos

Muitas propriedades dos materiais e campos usados em física e engenharia podem ser representados como campos de tensores simétricos; por exemplo , tensão mecânica, tensor tensão, e conductividade anisotrópica. Tensores de ordem 2 podem ser diagonalizados por escolhendo um quadro ortogonal de valores próprios. Estes valors próprios são os eixos principais do tensor, e geralmente têm um importante significado físico. Por exemplo, os eixos principais do momento de inércia definem o elipsóide que representa tal momento.

Elipsóides são exemplos de variedades algébricas; e então, para ordem geral, tensores simétricos, a pretexto de polinômios homogêneos, são usados para definir variedades projetivas, e são frequentemente estudados como tais.

Propriedades

Qualquer tensor de ordem dois $A_{ij}\,$ pode ser representado como a soma de um tensor simétrico e um tensor antisimétrico

$A_{ij} = \frac{1}{2} (A_{ij}+A_{ji})+\frac{1}{2} (A_{ij}-A_{ji})$

É facilmente verificado que o primeiro termo, denominado $A_{(ij)}\,$ não sofre mudança quando índices são intercambiados

$A_{(ij)} =\frac{1}{2} (A_{ij}+A_{ji})= A_{(ji)}$

Quando o segundo termo, $A_{[ij]}\,$, recebe um sinal menos.

$A_{[ij]} =\frac{1}{2} (A_{ij}-A_{ji})= -A_{[ji]}$

Para um tensor de terceira ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são

$A_{(ijk)} =\frac{1}{3!} (A_{ijk}+A_{ikj}+A_{kij}+A_{kji}+A_{jki}+A_{jik})$

$A_{[ijk]} =\frac{1}{3!} (A_{ijk}-A_{ikj}+A_{kij}-A_{kji}+A_{jki}-A_{jik})$

Então para um tensor geral de n-ésima ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são dadas por

$T_{(\mu_1 \mu_2 \mu_3 \cdots \mu _n)} = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^{n!-1} (\mbox{permuts de } \mu_1 \cdots \mu_n)$ *

$T_{[\mu_1 \mu_2 \mu_3 \cdots \mu _n]} = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^{n!-1} (-1)^j (\mbox{permuts de } \mu_1 \cdots \mu_n)$

• permuts significando permutações)

O espaço de tensores simétricos de ordem m definido sobre um espaço vetorial V é frequentemente denominado por $S^m(V)$ or $\operatorname{Sym}^m(V)$. Este espaço tem dimensão

$\mathrm{dim} \, \operatorname{Sym}^m(V)={n+m-1\choose m}$

onde n é a dimensão de V and ${n \choose k}$ is the binomial coefficient.

Ver também

• Matriz transposta
• Polinômios simétricos
• Polinômial de Schur
• Simetrizante de Young

Ligações externas

• Diagonalização de um tensor simétrico em efisica.if.usp.br
• Análise Tensorial - www.fem.unicamp.br