Teorema da borboleta

Figura geométrica semelhante a uma borboleta.

O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY.

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

Sejam as perpendiculares $XX'\,$ e $XX''\,$ formadas a partir do ponto $X\,$ nas linhas retas $AM\,$ e $DM\,$ respectivamente. De forma similar, sejam $YY'\,$ e $YY''\,$ formadas a partir do ponto $Y\,$, perpendicular às linhas retas $BM\,$ e $CM\,$ respectivamente.

Temos que a resposta do sd6 está aqui.

$\triangle MXX' \sim \triangle MYY'' \Longrightarrow {MX \over MY} = {XX' \over YY''},\,$

$\triangle MXX'' \sim \triangle MYY' \Longrightarrow {MX \over MY} = {XX'' \over YY'},\,$

$\triangle AXX' \sim \triangle CYY' \Longrightarrow {XX' \over YY'} = {AX \over CY},\,$

$\triangle DXX'' \sim \triangle BYY'' \Longrightarrow {XX'' \over YY''} = {DX \over BY},\,$

Das equações anteriores, fica fácil visualizar que

$\left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY'' } {XX'' \over YY'},$

${} = {AX.DX \over CY.BY},$

${} = {PX.QX \over PY.QY},$

${} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$

${} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2},$

uma vez que $PM \,$ = $MQ \,$

Agora,

${ (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}.$

Portanto, conclui-se que

$MX = MY, \,$ ou $M \,$ é o ponto médio de $XY. \,$

Ver também

• Epicentro

Ligações externas

• Prova animada do teorema da borboleta (em inglês)
• O Teorema da Borboleta (em inglês)