Teorema da convergência dominada

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Em matemática, o teorema da convergência dominada também conhecido como teorema da convergência dominada de Lebesgue é um dos principais teoremas envolvendo a integral de Lebesgue. Tem grandes aplicações na construção de espaços funcionais como o espaço Lp.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja f_n:E\to\mathbb{R}\, uma sucessão de funções integráveis à Lebesgue convergindo quase-sempre em E\, para uma função f\, dominadas por uma função g\, integrável, então:

\int_E f_n(x)dx \to \int_E f(x)dx\,.

por dominado, entende-se:

|f(x)|\leq g(x)\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina h_n(x)=|f(x)-f_n(x)|\,, temos que:

  • h_n(x)\geq 0\,
  • h_n(x)\to 0\, quase sempre
  • h_n(x) \leq |f(x)|+|f_n(x)| \leq 2g(x)\, e, em especial:
  • 2g-h_n(x) \geq 0\,

Pelo lema de Fatou temos:

  • \int_E \liminf_{n\to\infty} [2g(x)-h_n(x)] d\mu \leq \liminf_{n\to\infty}\int_E [2g(x)-h_n(x)]d\mu\,

O que implica:

\limsup_{n\to\infty}\int_E h_n(x)d\mu\leq 0\,

Como \int_E h_n(x)d\mu\geq 0,~~\forall n=1,2,3,\ldots\,

Temos que \lim_{n\to\infty}\int_E h_n(x)d\mu\leq 0\,

E como \left|\int_Ef_n(x) d\mu -\int_E f(x)d\mu\right|\leq \int_E |f_n(x)-f(x)|d\mu\to 0 \, o resultado segue.