Teorema da convergência dominada

Em matemática, o teorema da convergência dominada também conhecido como teorema da convergência dominada de Lebesgue é um dos principais teoremas envolvendo a integral de Lebesgue. Tem grandes aplicações na construção de espaços funcionais como o espaço Lp.

Enunciado

Seja $f_n:E\to\mathbb{R}\,$ uma sucessão de funções integráveis à Lebesgue convergindo quase-sempre em $E\,$ para uma função $f\,$ dominadas por uma função $g\,$ integrável, então:

$\int_E f_n(x)dx \to \int_E f(x)dx\,$.

por dominado, entende-se:

$|f(x)|\leq g(x)\,$

Demonstração

Defina $h_n(x)=|f(x)-f_n(x)|\,$, temos que:

• $h_n(x)\geq 0\,$
• $h_n(x)\to 0\,$ quase sempre
• $h_n(x) \leq |f(x)|+|f_n(x)| \leq 2g(x)\,$ e, em especial:
• $2g-h_n(x) \geq 0\,$

Pelo lema de Fatou temos:

• $\int_E \liminf_{n\to\infty} [2g(x)-h_n(x)] d\mu \leq \liminf_{n\to\infty}\int_E [2g(x)-h_n(x)]d\mu\,$

O que implica:

$\limsup_{n\to\infty}\int_E h_n(x)d\mu\leq 0\,$

Como $\int_E h_n(x)d\mu\geq 0,~~\forall n=1,2,3,\ldots\,$

Temos que $\lim_{n\to\infty}\int_E h_n(x)d\mu\leq 0\,$

E como $\left|\int_Ef_n(x) d\mu -\int_E f(x)d\mu\right|\leq \int_E |f_n(x)-f(x)|d\mu\to 0 \,$ o resultado segue.