Teorema da decomposição de Helmholtz

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No cálculo vetorial, o teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da física e da matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. Seu nome é dado em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia.[1]

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um campo vetorial \mathbf{F}(\mathbf{r}) e definamos \nabla \times \mathbf{F} \equiv \mathbf{C}(\mathbf{r}) e \nabla \cdot\mathbf{F} \equiv D(\mathbf{r}).

Se as seguintes condições são satisfeitas:

\left(1\right) \lim_{r \to \infty} \frac{\mathbf{C}(\mathbf{r})}{1/r^2} = \mathbf{0} e \lim_{r \to \infty} \frac{D(\mathbf{r})}{1/r^2} = 0, 
\left(2\right) \lim_{r \to \infty} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{1/r} = \mathbf{0}, 

então \mathbf{F}(\mathbf{r}) existe e é definido unicamente por

\left(3\right) \mathbf{F}(\mathbf{r}) =  -\nabla U(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{W}, 

com

\left(4\right) U(\mathbf{r})=\left( \frac{1}{4 \pi} \int \frac{D(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \right) \ \   e \ \  \mathbf{W}(\mathbf{r})=\left( \frac{1}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{C}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \right), 

onde {d}\tau' é um elemento infinitesimal de volume e \mathbf{r} e \mathbf{r'} são vetores genéricos no espaço tridimensional.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Sejam U(\mathbf{r}), \mathbf{W}(\mathbf{r}), D(\mathbf{r}) e \mathbf{C}(\mathbf{r}) as funções definidas acima. Nosso primeiro objetivo é mostrar que é possível escrever \mathbf{F}(\mathbf{r}) =  -\nabla U(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{W}, e que se escrito assim, de fato \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}(\mathbf{r}) e \nabla \cdot\mathbf{F} = D(\mathbf{r}). Em seguida, vamos mostrar que sob as condições \left( 1 \right) e \left( 2 \right), \mathbf{F}(\mathbf{r}) é único para determinados D(\mathbf{r}) e \mathbf{C}(\mathbf{r}).

Existência de U(r) e W(r)[editar | editar código-fonte]

A primeira questão é se U(\mathbf{r}) e \mathbf{W}(\mathbf{r}) são bem definidos, i.e., se as integrais de \left(4\right) convergem. Temos, para r'/r>>1:

\int \frac{D(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \simeq \int \frac{D(\mathbf{r'})}{r'}r'^2{d}r' = \int D(\mathbf{r'})r'{d}r'.

Essa integral converge se, e somente se, D(\mathbf{r'}) cair a zero no infinito mais rápido que 1/r'^2. Essa condição é garantida por \left(1\right). O mesmo argumento se aplica à integral de \mathbf{W}(\mathbf{r}). Logo, U(\mathbf{r}) e \mathbf{W}(\mathbf{r}) existem.

Divergência de F(r)[editar | editar código-fonte]

Usando o fato de que o divergente de um rotacional é identicamente nulo[2] , qualquer que seja a função sobre a qual a operação é aplicada, temos: \nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot \left( -\nabla U + \nabla \times \mathbf{W} \right) = \nabla \cdot \left( - \nabla U \right) = \nabla^2 \left( \frac{-1}{4 \pi} \int \frac{D(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \right)

Como \nabla^2 é um operador diferencial em relação a \mathbf{r} e a integral é em relação a \mathbf{r'}, podemos fazer

\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{-1}{4 \pi} \int D(\mathbf{r'})  \nabla^2 \left( \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \right) {d}\tau' = \frac{-1}{4 \pi} \int D(\mathbf{r'}) \left( -4 \pi \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r'}) \right) {d}\tau' = \int D(\mathbf{r'}) \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r'}) {d}\tau' = D(\mathbf{r}),

onde usamos a conhecida propriedade[3] da função Delta de Dirac:

\int \mathbf{f}(\mathbf{r'}) \delta^3(\mathbf{r'} - \mathbf{a}) {d}\tau' = \mathbf{f}(\mathbf{a})

Logo, como queríamos demonstrar, \nabla \cdot \mathbf{F} = D(\mathbf{r})

Rotacional de F(r)[editar | editar código-fonte]

Uma vez que o rotacional de um gradiente é identicamente nulo[2] , qualquer que seja a função sobre a qual o operador atua, e usando a identidade \nabla \times (\nabla \times) = -\nabla^2 + \nabla (\nabla \cdot) [2] , temos:

\nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times \left( -\nabla U(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{W}(\mathbf{r}) \right) = \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{W} \right) = -\nabla^2 \mathbf{W} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{W})

Como \nabla^2 é um operador diferencial em relação a \mathbf{r} e a integral é em relação a \mathbf{r'}, o primeiro termo do lado direito da equação acima fica:

-\nabla^2 \mathbf{W} = -\nabla^2 \left( \frac{1}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{C}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \right) = \frac{-1}{4 \pi} \int \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \nabla^2 \left( \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \right) {d}\tau' = \frac{-1}{4 \pi} \int \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \left( -4 \pi \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r'}) \right) {d}\tau'
= \int \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \delta^3 ( \mathbf{r} - \mathbf{r'}) {d}\tau' = \mathbf{C}(\mathbf{r})

Para calcular o segundo termo vamos usar, adicionalmente, integração por partes de campos vetoriais e o fato de que uma derivada de \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} em relação a \mathbf{r} difere de uma derivada em relação a \mathbf{r'} por um fator (-1):

\nabla \cdot \mathbf{W} = \nabla \cdot \left( \frac{1}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{C}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}{d}\tau' \right) = \frac{1}{4 \pi} \int \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \nabla \cdot \left( \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \right) {d}\tau' = \frac{-1}{4 \pi} \int_V \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \nabla' \cdot \left( \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \right) {d}\tau'
= \frac{1}{4 \pi} \left[ \int_V \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \nabla' \cdot \mathbf{C}(\mathbf{r'}) {d}\tau' - \oint_S \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \cdot {d}\mathbf{a} \right]

Mas, como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, \nabla' \cdot \mathbf{C}(\mathbf{r'}) = 0. Ao mesmo tempo, se escolhermos uma superfície cujos pontos estão todos suficientemente longe da origem, i.e., se fizermos r' \rightarrow \infty na integral de superfície da equação acima, teremos

\oint \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \mathbf{C}(\mathbf{r'}) \cdot {d}\mathbf{a} \rightarrow \oint \frac{C(r')}{r'}r'^2{d}r' = \oint C(r')r'{d}r'

Como as condições  \left( 1 \right) garantem que C(r') vai a zero mais rápido que 1/r'^2, o integrando, que é constante ao longo da integração se escolhermos como superfície de integração uma esfera, vai a zero. Logo, a integral de superfície também vai a zero, o que dá

\nabla \cdot \mathbf{W} = 0

Assim, ficamos com \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}(\mathbf{r}), como queríamos demonstrar.

Unicidade de F(r)[editar | editar código-fonte]

Até agora demonstramos que é possível escrever \mathbf{F}(\mathbf{r}) como o rotacional de um campo vetorial menos o gradiente de um campo escalar, como na expressão \left( 3 \right). Mas será que essa é a única forma de escrever \mathbf{F}? Em outras palavras, uma vez determinados o rotacional e o divergente de um campo vetorial \mathbf{F}, ele está unicamente fixado por \left( 3 \right)? A princípio, poderíamos adicionar à \mathbf{F} um função cujo rotacional e divergente fossem identicamente nulos. Nada mudaria no que foi argumentado até agora, mas certamente \mathbf{F} não seria único. Haveria tantas expressões diferentes para \mathbf{F} quanto campos com rotacional e divergente nulo existissem. De fato, existem campos com rotacional e divergente nulo, mas nenhum deles consegue satisfazer a condição \left( 2 \right):

\lim_{r \to \infty} \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{1/r} = \mathbf{0}.

Ou seja, nenhum campo irrotacional e sem divergência vai a zero no infinito mais rápido que r[4] .

Uma estratégia para mostrar formalmente a unicidade de \mathbf{F}(\mathbf{r}) é supor que exista uma outra função \mathbf{F_2}(\mathbf{r}), com o mesmo divergente e rotacional de \mathbf{F}(\mathbf{r}), e mostrar que \mathbf{B} = \mathbf{F} - \mathbf{F_2} = \mathbf{0}.

Temos, então: \nabla \times \mathbf{F_2} = \mathbf{C}(\mathbf{r}) e \nabla \cdot\mathbf{F_2} = D(\mathbf{r}). Logo,

\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\mathbf{F} - \mathbf{F_2}) = D - D = 0.

Da mesma maneira,

\nabla \times \mathbf{B} = \mathbf{0}

Pela última equação podemos definir \mathbf{B} = - \nabla \phi e, substituindo na penúltima, \nabla \cdot \mathbf{B} = - \nabla \cdot \nabla \phi = 0

Para duas funções escalares u e v diferenciáveis, há a identidade \nabla \cdot (u \nabla v) = u \nabla \cdot \nabla v + (\nabla u) \cdot (\nabla v). Utilizando-a no teorema de Gauss, obtemos:

\int_V u \nabla \cdot (\nabla v) {d}\tau + \int_V (\nabla u) \cdot (\nabla v) {d}\tau = \int_V \nabla \cdot (u \nabla v) {d}\tau = \oint_S (u \nabla v) \cdot {d}\mathbf{a}

Se fizermos u=v=\phi, ficamos com

\int_V \phi \nabla \cdot (\nabla \phi) {d}\tau + \int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \phi) {d}\tau = \oint_S (\phi \nabla \phi) \cdot {d}\mathbf{a}

A primeira integral é nula, pois \nabla \cdot \nabla \phi = 0. A integral de área, lado direito da equação, é nula pelas condições \left( 1 \right). Logo, resta:

\int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \phi) {d}\tau = 0.

Como a igualdade vale qualquer que seja o volume V escolhido, e o produto (\nabla \phi) \cdot (\nabla \phi) = \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} = B^2 nunca é negativo, concluímos que \mathbf{B}=\mathbf{0}. Desse modo, como queríamos demonstrar:

\mathbf{B} = \mathbf{F} - \mathbf{F_2} = \mathbf{0}.

E fica provado que, uma vez determinado o rotacional e o divergente de um campo vetorial \mathbf{F}, e sob as condições \left( 1 \right) e \left( 2 \right), este existe e é dado pela expressão \left( 3 \right) de forma única.[5]

Funções potenciais[4] [editar | editar código-fonte]

O conceito de potencial é útil em muitas situações, em física[6] . O Teorema de Helmholtz tem alguns corolários extremamente importantes.

Campos vetoriais irrotacionais[editar | editar código-fonte]

Se \nabla \times \mathbf{F} = 0 em todo o espaço, e sabendo que o rotacional do gradiente é identicamente nulo, temos:

\nabla \times \left( -\nabla U(\mathbf{r}) + \nabla \times \mathbf{W} \right) = \nabla \times \nabla \times \mathbf{W} = 0 \Rightarrow \mathbf{W} = 0

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o gradiente de um campo escalar: \mathbf{F} = -\nabla \varphi(\mathbf{r}).

Chamamos a função escalar \varphi(\mathbf{r}) de potencial escalar.

Pelo teorema de Stokes, \int_S \nabla \times \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{a} = \oint_C \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} = 0. Logo, uma integral de linha de um campo irrotacional num circuito fechado é identicamente nula. Isso implica qualquer integral de linha que comece e termine no mesmo ponto ser independente do caminho, pois se uma integral começa em \mathbf{a} e termina em \mathbf{b}, e uma outra integral começa em \mathbf{b} e termina em \mathbf{a}, a soma das duas dá uma integral de linha num caminho fechado, que é identicamente nula. Logo:

\int_\mathbf{a \rightarrow c1}^\mathbf{b} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} + \int_\mathbf{b \rightarrow c2}^\mathbf{a} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} = \int_\mathbf{a \rightarrow c1}^\mathbf{b} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} - \int_\mathbf{a \rightarrow c2}^\mathbf{b} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} = 0 \Rightarrow \int_\mathbf{a \rightarrow c1}^\mathbf{b} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l} = \int_\mathbf{b \rightarrow c2}^\mathbf{a} \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{l}

Ou seja, a integral de linha é independente do caminho.

Campos vetoriais sem divergência[editar | editar código-fonte]

Se \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 em todo o espaço, e sabendo que o divergente do rotacional é identicamente nulo, temos:

\nabla \cdot\left( -\nabla U + \nabla \times \mathbf{W} \right) = - \nabla \cdot\left(\nabla U \right) = 0 \Rightarrow \nabla U = 0

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o rotacional de um campo vetorial: \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r}).

Chamamos a função vetorial \mathbf{A}(\mathbf{r}) de potencial vetor.

Pelo teorema de Gauss, \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} {d}\tau' = \oint_S \mathbf{F}\cdot{d}\mathbf{a} = 0. Logo, no fluxo de um campo sem divergência numa superfície fechada é identicamente nulo.

Podemos mostrar, também, que qualquer integral de superfície, cuja superfície de integração esteja apoiada num mesmo contorno C, tem o mesmo valor. Ou seja, uma integral de superfície de um campo sem divergência não depende da superfície, para um dado contorno de apoio.

Aplicação em eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

A informação de que um campo vetorial está unicamente fixado pelo seu divergente e rotacional é de fundamental importância para a teoria eletromagnética. Toda a informação física relevante dos fenômenos eletromagnéticos é tirada de quatro equações diferenciais, as Equações de Maxwell, que envolvem precisamente o divergente e o rotacional dos campos vetoriais elétrico e magnético. São elas:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} (Lei de Gauss)


\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} (Lei de Faraday)


\nabla \cdot\mathbf{B} = 0 (Ausência de monopolos magnéticos)


\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ (Lei de Ampère-Maxwell)

Além disso, o conceito desenvolvido acima de potencial escalar e potencial vetor simplifica a solução de muitos problemas físicos.[4]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Cahan, D., Hermann von Helmholtz and the Foundations of Nineteenth-Century Science, 1a ed. California: University of California Press (1993).
  2. a b c Davis, H. F. e Snider, A. D., Introduction to Vector Analysis, 7a ed. Boston: Allyn & Bacon (1995).
  3. Boas, M.L., Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3a ed. Hoboken: Wiley (2005).
  4. a b c Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, 3a ed. New Jersey: Benjamin Cummings (1999).
  5. Arfken, G. B., Weber H. J. e Harris F. E., Mathematical Methods for Physicists, 6a ed. California: Academic Press (2005).
  6. Marion, J.B. e Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 5a ed. California: Brooks Cole (2003).