Teorema da equidistribuição de Weyl

Em matemática, o teorema da equidistribuição estabelece que a sequência

a, 2a, 3a, ... mod 1

é uniformemente distribuída sobre o intervalo de unidade, quando a é um número irracional. É um caso especial do teorema ergódico.

História

Quando este teorema foi demonstrado em 1909 e 1910 separadamente por Hermann Weyl, Wacław Sierpiński e Piers Bohl, variantes deste teorema continuaram a ser estudados até hoje.

Em 1916, Weyl demonstrou que a sequência a, 2²a, 3²a, ... mod 1 é uniformemente distribuída sobre o intervalo unitário. Em 1935, Ivan Vinogradov demonstrou que a sequência p_n a mod 1 é uniformemente distribuída, quando p_n é o n-ésimo primo. A prova de Vinogradov foi um subproduto da Conjectura fraca de Goldbach, que cada grande número ímpar é a soma de três primos.

George Birkhoff, em 1931, e Aleksandr Khinchin, em 1933, provou que a generalização x+na, para quase todo x, é equidistribuída sobre qualquer medida de Lebesgue subconjunto do intervalo unitário. As correspondentes generalizações para os resultados de Weyl e Vinogradov foram demonstrados por Jean Bourgain em 1988.

Especificamente, Khinchin mostrou que a identidade

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+ka)\mod 1)=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

sustenta-se para quase todo x e qualquer função integrável de Lebesgue f. Em formulações modernas, pede-se sob que circunstâncias a identidade

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a)\mod 1)=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

pode se sustentar, dando alguma sequência geral $b_{k}$.

Um resultado digno de nota é que a seqüência $2^{k}a$ mod 1 é uniformemente distribuída para quase todo, mas não todo, irracional a. Similarmente, para a sequência $b_{k}=2^{k}$, para qualquer irracional a, e quase todo x, existe uma função f para a qual a soma diverge. neste sentido, esta sequência é considerada ser uma sequência universalmente divergente em média, opondo-se a $b_{k}=k$, a qual é denominada sequência universalmente convergente em média, porque não tem uma última convergência.

Um poderoso resultado geral é o critério de Weyl, o qual mostra que a equidistribuição é equivalente a ter-se um estimativa não trivial para as somas exponenciais formadas com a sequência como expoentes. Para o caso de múltiplos de a, o critério de Weyl reduz o problema a soma finita de séries geométricas.

Ver também

• Aproximação diofantina
• Sequência de baixa discrepância

Referências

Referências históricas

• P. Bohl, Über ein in der Theorie der säkutaren Störungen vorkommendes Problem, (1909), J. reine angew. Math. 135, pp, 189-283.
• H. Weyl, Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene, (1910) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 330, pp. 377–407.
• W. Sierpinski, Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme, (1910), Bull Intl. Acad. Polonmaise des Sci. et des Lettres (Cracovie) series A, pp. 9–11.
• H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zählen mod. Eins, (1916) Math. Ann. 77, pp. 313–352.
• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 17, pp. 656–660.
• A. Ya. Khinchin, Zur Birkhoff's Lösung des Ergodensproblems, (1933), Math. Ann. 107, pp. 485–488.

Referências modernas

• Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis, (1993) appearing in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. (An extensive survey of the ergodic properties of generalizations of the equidistribution theorem of shift maps on the unit interval. Focuses on methods developed by Bourgain.)
• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis. An Introduction, (2003) Princeton University Press, pp 105–113 (Proof of the Weyl's theorem based on Fourier Analysis)