Teorema da função inversa

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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com função inversa. Pode-se discutir o procedimento aqui.
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O teorema da função inversa é um importante resultado da análise real. Admite diversas versões, todas estabelecem basicamente a existência local de um função inversa para uma aplicação continuamente diferenciável .

Versão na reta[editar | editar código-fonte]

Seja f:O\to\mathbb{R}\, uma função de classe C^1\, num domínio O\, aberto. Se x_0\in O\, e f'(x_0)\neq 0\, então existe um intervalo (x_0-h,x_0+h)\subseteq O\, onde a f\, é injetora e, portanto, sobrejetiva em sua imagem. Ademais, se f^{-1}\, é a inversa de f\, em sua imagem, temos:

\left.\frac{df^{-1}(y)}{dy}\right|_{y=f(x)}= \left(\frac{df(x)}{dx}\right)^{-1}

Versão em \mathbb{R}^n[editar | editar código-fonte]

Se f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n é de classe C^R\, e Df\, é invertível num ponto x_0\, então f\, é localmente um difeomorfismo de classe C^R\,.

onde Df\, é a diferencial da f\,

Obs: O Teorema da Função Inversa vale se, e somente se, o Teorema da Função Implícita vale.