Teorema da incompletude de Gödel
O teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois resultados demonstrados por Kurt Gödel:
- Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, sempre há em uma teoria consistente proposições verdadeiras que não podem ser demonstradas nem negadas."
- Teorema 2: "Uma teoria, recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e alguns enunciados da teoria da prova, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente."
O primeiro teorema garante a existência das chamadas proposições indecidíveis, ou seja, que não podem ser provadas verdadeiras ou falsas em um dado sistema axiomático (e.g. a Hipótese do Continuum é indecidível no sistema ZFC). O segundo teorema impõe uma restrição a qualquer sistema axiomático: não é possível ser consistente e provar sua própria consistência, o que não impede que essa consistência seja provada por outro sistema (e.g. a consistência dos Axiomas de Peano da Aritmética podem ser provados através dos axiomas ZFC).
Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.
O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto a proposta de Hilbert de reduzir a Matématica a um conjunto finito de axiomas completo e consistente (segundo problema de Hilbert) não podia ser possível.
[editar] Contexto histórico
No fim do século XIX a filosofia do conhecimento era considerada um bloco monolítico e muitos intelectuais da época consideravam que haveria pouca coisa fundamentalmente nova a ser descoberta. No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o jovem e genial David Hilbert, imbuído das idéias correntes, apresentou um surpreendente trabalho resumindo as 23 questões ainda "em aberto", as quais, após resolvidas, completariam todo o escopo da matemática.
Hilbert pretendia, como de fato foi parcialmente conseguido, desencadear um esforço geral da comunidade científica a fim de completar a fundamentação lógica da matemática. Nos poucos anos que se seguiram a maior parte das questões por ele propostas foram adequadamente resolvidas.
Em 1931, quando ainda vigorava a proposta de Hilbert de obter a completa construção da teoria matemática através da lógica formal, Gödel publicou o seu trabalho "Sobre as Proposições Indecidíveis", pondo fim a essa expectativa. Na Universidade de Princeton, o prestigiado Neumann, que trabalhava com afinco na proposta de Hilbert, imediatamente mergulhou nos trabalhos de Gödel, dando-lhe grande apoio.
Paralelamente, na Física, estava em pleno andamento o desenvolvimento da teoria quântica e quatro anos antes (1927) Heisenberg já divulgara seu "principio da incerteza", colocando um limite físico na experimentação microscópica direta. Foi mais um golpe nas hipóteses determinísticas da ciência.
Posteriormente, Church e Turing demonstraram que não existe nenhum algoritmo capaz de provar se "uma proposição qualquer faz ou não parte de uma teoria".
Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem qualquer outro matemático havia apresentado alguma proposição que ilustrasse os teoremas da indecidibilidade. Somente então o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para teste de proposições indecidíveis. Cohen mostrou que a hipótese do continuum, justamente uma das questões fundamentais da matemática, era indecidível.
