Teorema da pizza

8 setores: a área amarela é igual à área roxa.

12 setores: a área verde é igual à área laranja.

Demonstração para 8 setores, por Carter & Wagon (1994)

Em geometria, o teorema da pizza é uma afirmação sobre uma igualdade de áreas que surge quando divide-se um disco de uma maneira específica.

• Seja p um ponto interno do disco, e seja n um número múltiplo de 4 e maior ou igual a 8.
• Formando-se n setores do disco com ângulos congruentes, o que pode ser feito escolhendo-se uma reta arbitrária que passa por p, rotacionando-se a reta [(n/2) − 1] vezes por um ângulo de π/n radianos, e cortando-se o disco em cada umas das n/2 retas resultantes.
• Tendo-se os setores numerados consecutivamente em sentido horário ou anti-horário.
• Então o teorema da pizza afirma que:

A soma das áreas dos setores numerados ímpares é igual a soma das áreas dos setores numerados pares (Upton 1968).

O teorema da pizza é assim chamado porque ele mostra uma maneira de se obter uma divisão justa ao dividir-se uma pizza (assim como a técnica de corte tradicional), se duas pessoas compartilham uma pizza cortada dessa maneira, apanhando pedaços alternados, então cada uma consegue uma mesma quantidade.

Notas

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Pizza theorem», especificamente desta versão.

Referências

• Carter, Larry; Wagon, Stan (1994a), «Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza», Mathematics Magazine, 67 (4): 267, JSTOR 2690845 
• Carter, Larry; Wagon, Stan (1994b), «Problem 1457», Mathematics Magazine, 67 (4): 304, JSTOR 2690855 .
• Cibulka, Josef; Kynčl, Jan; Mészáros, Viola; Stolař, Rudolf; Valtr, Pavel (2008). «Solution of Peter Winkler's pizza problem». arXiv:0812.4322 .
• Hirschhorn, J.; Hirschhorn, M. D.; Hirschhorn, J. K.; Hirschhorn, A. D.; Hirschhorn, P. M. Hirschhorn (1999), «The pizza theorem» (PDF), Austral. Math. Soc. Gaz., 26: 120–121 .
• Knauer, Kolja; Micek, Piotr; Ueckerdt, Torsten (2008). «How to eat 4/9 of a pizza». arXiv:0812.2870 .
• Mabry, Rick; Deiermann, Paul (2009), «Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results» (PDF), American Mathematical Monthly, 116 (5): 423–438 ^{[ligação inativa]}.
• Ornes, Stephen (11 de dezembro de 2009), «The perfect way to slice a pizza», NewScientist .
• Upton, L. J. (1968), «Problem 660», Mathematics Magazine, 41 (1): 46, JSTOR 2687962. Solution by Michael Goldberg .

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Pizza Theorem» (em inglês). MathWorld 
• Sillke, Torsten, Pizza Theorem, consultado em 24 de novembro de 2009