Teorema da representação de Riesz

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Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação em espaços de Hilbert[editar | editar código-fonte]

Seja H\, um espaço de Hilbert real ou complexo, munido do produto interno \langle.,. \rangle\,. Seja l\, um funcional linear contínuo em H\,. Então existe um vetor y\in H\, tal que:

l(x)=\langle x,y\rangle,\forall x\in H\,

Observe que todo funcional desta forma é um funcional linear contínuo. O teorema estabelece portanto uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Considere momentaneamente que H\, seja um espaço de dimensão finita, ou seja, todo elemento x\in H\, pode ser escrito como:

x=\sum_{j=1}^{n} x_j b_j\,

onde \{b_j\}_{j=1}^{n}\, seja uma base para H\,. Então a linearidade de l\, nos permite escrever:

l(x)= l\left(\sum_{j=1}^{n} x_j b_j\right) =\sum_{j=1}^n x_j l(b_j)=\langle x,y \rangle\,

onde y=\overline{l(b_j)}\,.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbb{N}=\{x\in H:l(x)=0\}\, o espaço nulo de l\,. \mathbb{N}\, é um espaço vetorial fechado posto que l\, é contínuo. Temos dois casos:

Neste caso, escreva para todo x\in H\,:

u= x-\frac{l(x)}{l(z)}z\,

Pela linearidade de l\,, é fácil verificar que l(u)=0\,, ou seja, u\in \mathbb{N}\,.

Sendo z\, ortogonal a \mathbb{N}\,, ou seja, \langle u,z\rangle=0 \,:

0=\langle u,z \rangle = \left\langle x-\frac{l(x)}{l(z)}z,z \right\rangle=\langle x,z \rangle - \frac{l(x)}{l(z)}\langle z,z \rangle\,

Ou ainda:

l(x)=\frac{l(z)}{\|z\|^2}\langle x,z \rangle=\left\langle x,\frac{l(z)}{\|z\|^2}z \right\rangle \,

E o resultado segue com y=\frac{l(z)}{\|z\|^2}z\,.