Teorema da representação de Riesz

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação em espaços de Hilbert

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert real ou complexo, munido do produto interno $\langle.,. \rangle\,$. Seja $l\,$ um funcional linear contínuo em $H\,$. Então existe um vetor $y\in H\,$ tal que:

$l(x)=\langle x,y\rangle,\forall x\in H\,$

Observe que todo funcional desta forma é um funcional linear contínuo. O teorema estabelece portanto uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação

Considere momentaneamente que $H\,$ seja um espaço de dimensão finita, ou seja, todo elemento $x\in H\,$ pode ser escrito como:

$x=\sum_{j=1}^{n} x_j b_j\,$

onde $\{b_j\}_{j=1}^{n}\,$ seja uma base para $H\,$. Então a linearidade de $l\,$ nos permite escrever:

$l(x)= l\left(\sum_{j=1}^{n} x_j b_j\right) =\sum_{j=1}^n x_j l(b_j)=\langle x,y \rangle\,$

onde $y=\overline{l(b_j)}\,$.

Demonstração

Seja $\mathbb{N}=\{x\in H:l(x)=0\}\,$ o espaço nulo de $l\,$. $\mathbb{N}\,$ é um espaço vetorial fechado posto que $l\,$ é contínuo. Temos dois casos:

• $\mathbb{N}=H\,$, neste caso $l\equiv 0\,$ e o teorema é válido com $y=0\,$.
• Existe um elemento não nulo $z\in\mathbb{N}^\perp\,$, o complemento ortogonal de $\mathbb{N}\,$

Neste caso, escreva para todo $x\in H\,$:

$u= x-\frac{l(x)}{l(z)}z\,$

Pela linearidade de $l\,$, é fácil verificar que $l(u)=0\,$, ou seja, $u\in \mathbb{N}\,$.

Sendo $z\,$ ortogonal a $\mathbb{N}\,$, ou seja, $\langle u,z\rangle=0 \,$:

$0=\langle u,z \rangle = \left\langle x-\frac{l(x)}{l(z)}z,z \right\rangle=\langle x,z \rangle - \frac{l(x)}{l(z)}\langle z,z \rangle\,$

Ou ainda:

$l(x)=\frac{l(z)}{\|z\|^2}\langle x,z \rangle=\left\langle x,\frac{l(z)}{\|z\|^2}z \right\rangle \,$

E o resultado segue com $y=\frac{l(z)}{\|z\|^2}z\,$.