Teorema das cascas esféricas

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Na mecânica clássica, o teorema das cascas esféricas provê importantes simplificações no cálculo do campo gravitacional de corpos com simetria esférica. Este Teorema foi provado por Isaac Newton, aos 23 anos, através do uso do Cálculo Diferencial e Integral, o qual ele mesmo desenvolveu. O teorema afirma que:

  • Um corpo com simetria esférica afeta objetos externos como se toda a sua massa estivesse concentrada em um único ponto no seu centro.
  • Uma casca com simetria esférica (esfera oca) não exerce força gravitacional no seu interior.

Um corolário dessas duas afirmações é:

  • Dentro de uma esfera sólida de densidade constante, a força gravitacional varia linearmente com a distância até o centro e anula-se nele.

Fora de uma esfera oca[editar | editar código-fonte]

Uma esfera oca pode ser vista como uma soma de anéis de espessura "dθ" e raio "R sen θ".

Shell-diag-1.png

A força exercida no ponto "m" pode ser calculada integrando a força gravitacional de todas as secções.

A força gravitacional exercida pela secção sombreada é dado por:

dF = \frac{Gm \;dM}{s^2}.

Contudo, pode observar-se pela simetria do problema que todas as componentes vectorias anulam-se excepto:

dF_r = \frac{Gm \;dM}{s^2} \cos\phi.

Integrando:

F_r = \int dF_r = Gm \int \frac{dM \cos\phi} {s^2}.

Para se expandir "dM" em funcao de "dθ", note-se que a área total da esfera é:

4\pi R^2 \,

e a superficies de secção entre "θ" e "dθ" tem área :

2\pi R^2\sin\theta \,d\theta

Portanto:

dM = \frac {2\pi R^2\sin\theta }{4\pi R^2} M\,d\theta = \textstyle\frac{1}{2} M\sin\theta \,d\theta

Logo:

F_r = \frac{GMm}{2}  \int \frac{\sin\theta  \cos\phi} {s^2}\,d\theta

Relembrando a Lei dos cossenos:

\cos\phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}
\cos\theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}.

A diferenciação da função implícita:

\sin\theta \;d\theta = \frac{s}{rR} ds.

Obtem-se então:

F_r = \frac{GMm}{2rR}  \int \frac{\cos\phi} {s}\,ds

Em que "s" varia de "r" - "R" ate "r" + "R".

Shell-diag-1-anim.gif

Inserido a segunda expressão acima da "lei dos cossenos":

F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \int \left( 1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right) ds.

A primitva to integrando é:

  s - \frac{r^2 - R^2}{s}

e integrando entre r - R , r + R:

F_r = \frac{GMm}{r^2}.

Resultado equivalente a força gravitacional de um único ponto no centro.

Dentro de uma esfera oca[editar | editar código-fonte]

Shell-diag-2.png

Pode ver-se que s varia de "R" - "r" ate "R" + "r". Utlizando a primitiva obtida anteriormente:

  s - \frac{r^2 - R^2}{s}

obtem-se:

F_r = 0 \,

ou seja, uma casca com simetria esférica (esfera oca) não exerce força gravitacional no seu interior.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Haliday, Resnick e Merril. In: LTC. Fundamentos de Física 2. 3a. ed. [S.l.: s.n.], 1994.