Teorema das cascas esféricas

Na mecânica clássica, o teorema das cascas esféricas provê importantes simplificações no cálculo do campo gravitacional de corpos com simetria esférica. O teorema afirma que:

• Um corpo com simetria esférica afeta objetos externos como se toda a sua massa estivesse concentrada em um único ponto no seu centro.
• Uma casca com simetria esférica (esfera oca) não exerce força gravitacional no seu interior.

Um corolário dessas duas afirmações é:

• Dentro de uma esfera sólida de densidade constante, a força gravitacional vaira linearmente com a distância até o centro e anula-se nele.

Fora de uma esfera oca

Uma esfera oca pode ser vista como uma soma de anéis de espessura "dθ" e raio "r sen θ".

A força exercida no ponto "m" pode ser calculada integrando a força gravitacional de todas as secções.

A força gravitacional exercida pela secção sombreada é dado por:

$dF = \frac{Gm \;dM}{s^2}.$

Contudo, pode observar-se pela simetria do problema que todas as componentes vectorias anulam-se excepto:

$dF_r = \frac{Gm \;dM}{s^2} \cos\phi.$

Integrando:

$F_r = \int dF_r = Gm \int \frac{dM \cos\phi} {s^2}.$

Para se expandir "dM" em funcao de "dθ", note-se que a área total da esfera é:

$4\pi R^2 \,$

e a superficies de secção entre "θ" e "dθ" tem área :

$2\pi R^2\sin\theta \,d\theta$

Portanto:

$dM = \frac {2\pi R^2\sin\theta }{4\pi R^2} M\,d\theta = \textstyle\frac{1}{2} M\sin\theta \,d\theta$

Logo:

$F_r = \frac{GMm}{2} \int \frac{\sin\theta \cos\phi} {s^2}\,d\theta$

Relembrando a Lei dos cossenos:

$\cos\phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}$

$\cos\theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}.$

A diferenciação da função implícita:

$\sin\theta \;d\theta = \frac{s}{rR} ds.$

Obtem-se então:

$F_r = \frac{GMm}{2rR} \int \frac{\cos\phi} {s}\,ds$

Em que "s" varia de "r" - "R" ate "r" + "R".

Inserido a segunda expressão acima da "lei dos cossenos":

$F_r = \frac{GMm}{4r^2 R} \int \left( 1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right) ds.$

A primitva to integrando é:

$s - \frac{r^2 - R^2}{s}$

e integrando entre r - R , r + R:

$F_r = \frac{GMm}{r^2}.$

Resultado equivalente a força gravitacional de um único ponto no centro.

Dentro de uma esfera oca

Pode ver-se que s varia de "R" - "r" ate "R" + "r". Utlizando a primitiva obtida anteriormente:

$s - \frac{r^2 - R^2}{s}$

obtem-se:

$F_r = 0 \,$

ou seja, uma casca com simetria esférica (esfera oca) não exerce força gravitacional no seu interior.

Referências

• Haliday, Resnick e Merril (1994), LTC, Fundamentos de Física 2, 3^a