Teorema de Abel-Ruffini

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O Teorema de Abel-Ruffini é um teorema criado pelos matemáticos Paolo Ruffini (demonstração em 1799, contendo um pequeno erro) e Niels Henrik Abel (demonstração final em 1824).[1]

O teorema afirma que não há uma solução geral através de radicais para as equações polinomiais de grau cinco ou superior.[1] Note-se que o teorema não afirma que as equações polinomiais de ordem cinco ou superior não têm solução. Na verdade, se o polinómio tiver coeficiente reais ou complexos, e se se permitirem soluções complexas, então todos as equações polinomiais têm solução. Essa é aliás a proposição do teorema fundamental da álgebra. Ainda que essas soluções não possam ser calculadas com rigor, podem ser obtidas com um grau de precisão requerido usando métodos numéricos tais como o métodos de Newton-Raphson ou o de Laguerre.

O teorema refere-se simplesmente à forma que a solução pode ter. Assim, a solução de uma equação de grau cinco ou superior não pode ser sempre expressa a partir dos coeficentes e usando simplesmente as operações de adição, subtração/subtracção, multiplicação, divisão e potenciação (incluindo-se nesta última a extração/extracção de raízes).[1]

Tomemos como exemplo, a solução das equações polinomiais de segundo grau, usando a habitual equação quadrática: As raízes de  ax^2 + bx + c = 0 são : x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}. [1] Fórmulas deste tipo existem também para as equações de terceira e quarta ordem.[1]

O teorema afirma portanto que nenhuma solução de certas equações de quinta ordem pode ser expressas por fórmulas daquele tipo. A equação  x^5 - x + 1 = 0 é disso um exemplo. Algumas equações de quinto grau podem ser resolvidas por radicais. Um exemplo: x^5 - x^4 - x + 1 = 0. Os critérios de distinção entre um caso e o outro foram descobertos por Évariste Galois.

Referências

  1. a b c d e Henryk Żołądek, The Topological Proof of the Abel-Ruffini Theorem, Topological Methods in Nonlinear Algebra, Journal of the Juliusz Schauder Center, Volume 16, 2000, 253-265 [em linha]


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