Teorema de Cantor

Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado

Seja $\left\{F_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, $F_{n+1}\subseteq F_n$. Assuma, ainda, que $\mbox{diam}(F_n)\to 0$, ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

$\mbox{diam(F)}=\sup_{x,y\in F}d(x,y)$

Então a intersecção $\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$ é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração

Como cada $F_n$ é não-vazio, podemos escolher um ponto $x_n$ pertencente a ele:

$x_n\in F_n$

Como $x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_n$, temos que toda a seqüência $\{x_j\}_{j=n}^{\infty}$ está contida em $F_n\,$.

Mas $\{x_j\}_{j=n}^{\infty}$ é uma Sucessão de Cauchy, pois:

$\mbox{d}(x_n,x_{n+k}) \leq \mbox{diam}(F_n)\to 0$, pois $x_n,x_{n+k} \in F_n$.

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite $x$ tal que:

$x_n\to x$

Como os conjuntos $F_n$ são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

$x\in F_n, \forall n$

Assim $x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$.

Para provar que $x\,$ é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

$x,y\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n$, com $x\neq y\,$

O fato que $x\neq y\,$ implica $d(x,y)>0\,$

Escolha $N\,$ tal que:

$\mbox{diam}(F_n)<d(x,y)\,$

Da definição de diâmetro e do fato que $x,y \in F_n$, deve valer:

$d(x,y)\leq \mbox{diam}(F_n) < d(x,y)$, um absurdo.

Aplicações

• É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.