Teorema de Cantor

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Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \left\{F_n\right\}_{n=1}^{\infty} uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, F_{n+1}\subseteq F_n. Assuma, ainda, que \mbox{diam}(F_n)\to 0, ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

\mbox{diam(F)}=\sup_{x,y\in F}d(x,y)

Então a intersecção \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como cada F_n é não-vazio, podemos escolher um ponto x_n pertencente a ele:

x_n\in F_n

Como x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_n, temos que toda a seqüência \{x_j\}_{j=n}^{\infty} está contida em F_n\,.

Mas \{x_j\}_{j=n}^{\infty} é uma Sucessão de Cauchy, pois:

\mbox{d}(x_n,x_{n+k}) \leq \mbox{diam}(F_n)\to 0, pois x_n,x_{n+k} \in F_n.

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite x tal que:

x_n\to x

Como os conjuntos F_n são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

x\in F_n, \forall n

Assim x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n.

Para provar que x\, é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

x,y\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n, com x\neq y\,

O fato que x\neq y\, implica d(x,y)>0\,

Escolha N\, tal que:

\mbox{diam}(F_n)<d(x,y)\,

Da definição de diâmetro e do fato que x,y \in F_n, deve valer:

d(x,y)\leq \mbox{diam}(F_n) < d(x,y), um absurdo.

Aplicações[editar | editar código-fonte]