Teorema de De Finetti

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Em teoria da probabilidade, o teorema de De Finetti mostra o motivo pelo qual observações permutáveis são condicionalmente independentes dada alguma variável latente para qual uma distribuição de probabilidade epistemica é então atribuida. Esse teorema recebe esse nome em homenagem ao matemático e probabilista Bruno de Finetti.

Esse teorema afirma que uma sequência de variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli é uma "mistura" de variáveis aleatórias Bernoulli independente e identicamente distribuídas (i.i.d).

Assim, enquanto as observações não precisam ser i.d.d. para que uma sequência seja permutável, existem quantidades subjacentes e geralmente não observáveis que são i.i.d. - sequências permutáveis são (não necessariamente i.i.d) misturas de sequências i.i.d.

Em linhas gerais[editar | editar código-fonte]

Umas das diferenças entre métodos Bayesianos e frequentistas em inferência estatística é que os frequentistas geralmente tratam as observações como independentes, ao passo que os Bayesianos as tratam como permutáveis. Um estatístico Bayesiano, muitas vezes busca a distribuição de probabilidade condicional de uma quantidade não observável nos dados observáveis. O conceito de permutabilidade (exchangeability) foi introduzido por de Finetti. O teorema de De Finetti explica a relação matemática entre a independência e permutabilidade.

Uma sequência infinita

X_1, X_2, X_3, \dots \!

de variáveis aleatórias é dita ser permutável se para qualquer número cardinal finito n e qualquer duas sequências finitas i1, ..., in and j1, ..., jn, as duas sequências

X_{i_1},\dots,X_{i_n} \mbox{ e } X_{j_1},\dots,X_{j_n} \!

apresentam ambas a mesma distribuição de probabilidade. A condição de permutabilidade é mais forte que a suposição de distribuição idêntica de uma variável aleatória individual em uma sequência, e mais fraca que a suposição de que elas são independentes e identicamente distribuidas.

Afirmações do teorema[editar | editar código-fonte]

Uma variável X tem distribuição de Bernoulli se \Pr(X=0) = p e \Pr(X=1) = 1-p, para algum p ∈ (0, 1).

O teorema de De Finetti afirma que a distribuição de probabilidade de qualquer sequência infinita de variáveis aleatórias Bernoulli permutável é uma "mistura" das distribuições de probabilidade de uma sequência de variáveis aleatórias Bernoulli. "Mistura", neste caso, significa uma média ponderada.

Mais precisamente, suponha que X1, X2, X3, ... é uma sequência infinita permutável de variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli. Então existe uma distribuição de probabilidade m no intervalo [0, 1] e uma variável aleatória Y tal que

Ligações externas[editar | editar código-fonte]