Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em \mathbb{N}, foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja a, \, b \in \mathbb{N} \; / \; \operatorname{mdc}(a, \; b) = 1 então a progressão aritmética a_n=a+b \cdot n contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.[1]

Seja G um grupo comutativo finito de ordem h e elemento unitário e.

Um caráter sobre G é uma função \chi \in \mathbb{C} \; / \; \chi \neq 0, \;\chi(u \cdot v)=\chi(u) \cdot \chi(v) \; \forall u, v \in G Um caráter sobre G tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

  1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre G como o produto dos caráteres sobre G é também um caráter sobre G, o conjunto de caráteres sobre G forma um grupo comutativo com a multiplicação.
    Isto permite definir o caráter principal do grupo G que se define como a função \chi_0 \; / \; \chi_0(u)= 1 \; \forall u \in G. O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre G.
  2. Como \chi(e)=1 e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então \forall u \in G \; (\chi(u))^h=\chi(u^h)=\chi(e)=1, o que implica que \mid \chi(u) \mid=1.
    Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem h é como máximo h, o número de carateres c é finito, sendo o valor h^h uma cota superior de c.
    Por outra parte \forall u \in G, \; u \ne e existe um caráter \chi \; / \; \chi(u) \ne 1 ([AD]). Por ele, e se representa mediante \sum_{G}a_{\chi} \, a soma do valor a_{\chi} associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo G, se tem estas propriedades adicionais ([AD]):
  3. \forall u \in G \mbox{ se tem que: } \sum_{G}\chi(u)= \begin{cases}
c & si \; u = e
\\
0 & si \; u \neq e
\end{cases} \quad \mbox{ onde } c=\sum_{G}1
  4. \forall u \in G \mbox{ se tem que: } \sum_{u \in G}\chi(u)= \begin{cases}
h & si \; \chi = \chi_0
\\
0 & si \; \chi \neq \chi_0
\end{cases} \quad \mbox{ onde } h \mbox{ é a ordem de } G 
\mbox{ sendo } c = h
  5. \forall u, v \in G \mbox{ determina que: } \frac{1}{h}\sum_{\chi}\frac{\chi(u)}{\chi(v)}=\begin{cases}
1 & si \; u = v
\\
0 & si \; u \ne v
\end{cases}
  6. \forall \chi_1, \chi_2 \in G \mbox{ determina que: } \frac{1}{h}\sum_{u \in G}\frac{\chi_1(u)}{\chi_2(u)}=\begin{cases}
1 & si \; \chi_1 = \chi_2
\\
0 & si \; \chi_1 \ne \chi_2
\end{cases}
    Dado um q \in \mathbb{N}, se definem os carateres \chi do grupo G=Z^*_q definido como as classes de congruência módulo q de números coprimos com q.
    O grupo G tem \phi(q) elementos, e o podemos representar por G=\lbrace a_1, a_2, a_3, ..., a_{\phi(q)} \rbrace onde os diferentes a_i são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição 0<a_j<q, e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres \chi de G da seguinte maneira:
    \chi(n)= \begin{cases}
\chi(a_i) & \mathrm{si} \; n \equiv a_i \pmod q
\\
0 & \mathrm{si} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1
\end{cases}
    Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem \phi(q) funções deste tipo e uma delas: \chi_0(n)= \begin{cases}
1 & \mathrm{si} \; n \equiv a_i \pmod  q
\\
0 & \mathrm{si} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1
\end{cases} se denomina caráter principal de Dirichlet.
    Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):
  7. \sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\chi(n)=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{si} \; \chi = \chi_0
\\
0 & \mathrm{si} \; \chi \ne \chi_0
\end{cases}
  8. \sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\chi(u)=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{si} \; u \equiv 1 \pmod q
\\
0 & \mathrm{si} \; u \not \equiv 1 \pmod q
\end{cases}
  9. \forall a \in \mathbb{N} \; / \; \operatorname{mcd}(a,\;q)=1 \mbox{ se tem que: } \sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\frac{\chi(u)}{\chi(a)}=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{si} \; u = a
\\
0 & \mathrm{si} \; u \ne a
\end{cases}

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s} onde s \in \mathbb{C} e \chi é um caráter de Dirichlet.

Os valores de \chi são periódicos, o que implica que a série L(s,\,\chi) converge absolutamente para \Re(s)>1 e uniformemente para \Re(s)>1+\varepsilon, \quad \forall \varepsilon>0. Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão: L(s,\chi)=\prod_p \left ( 1 - \frac {\chi(p)}{p^s} \right )^{-1} Quando \Re(s)>1 A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

  1. L(s,\chi) \neq 0
  2. L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )
  3. \frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}
  4. \ln(L(s,\chi))=\sum_p{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac {(\chi(p))^m}{p^{m \cdot s}}}

Da igualdade L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right ) e as propriedades da função \zeta se deduz que a função L(s,\chi_0) é analítica no semiplano complexo \Re(s)>0 a exceção de um polo em s=1, cujo resíduo é \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right )=\frac {\phi(q)}{q}. Como consequência disto, podemos afirmar que L(s,\chi_0)=f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}, onde f é analítica e não tem singularidades em \Re(s)>0, de modo que a função expressa por \frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\frac {f^\prime(s)-\frac{\phi(q)/q}{(s-1)^2}}{f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}}=\frac{(s-1)^2f^\prime(s)-\phi(q)/q}{(s-1)f(s)-\phi(q)/q}\frac{1}{s-1} tem também um polo em s=1 com resíduo -1. Por outra parte, toda função-L de Dirichlet L(s,\chi) com \chi \neq \chi_0 é analítica e não apresenta singularidades na zona \Re(s)>0 ([AD]). E para k>0 se tem ([AD]) que \sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\sum_{n=a\pmod q}\frac{\Lambda(n)}{n^k}-O(1) o qual também se pode expressar como:

\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\frac {-1}{\phi(q)} \cdot \frac {L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)} - \frac{1}{\phi(q)\chi(a)} \sum_{ \chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}-O(1)

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que L(1,\chi) \neq 0 quando \chi \neq \chi_0 a seguinte expressão:

\lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{1}{\phi(q)\chi(a)}\sum_{\chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}=\frac{1}{\phi(q)\chi(1)}\sum_{\chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(1,\chi)}{L(1,\chi)}=O(2)

obtem um valor finito e, como vimos, dado que \frac{1}{\chi_0(a)}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)} tem um polo em s=1 com resíduo -1 resulta que \lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=-\infty o que implica que:

\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p}=\lim_{k \rightarrow 1^+}\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\frac {-1}{\phi(q)} \left ( \lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}+O(2) \right )+O(1)=\infty

o que prova o teorema.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Gonzalez de la Hoz, F.A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED. (em espanhol)