Teorema de Egorov

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Em matemática, o teorema de Egorov é um dos principais teoremas da teoria da medida. Recebe o nome em honra ao físico e geômetra russo Dmitri Egorov.

O teorema estabelece um relação entre convergência quase-sempre e convergência uniforme em um espaço de medida finita.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \mu\, uma medida positiva, E\, um conjunto mensurável de medida finita e f_n:E\to\mathbb{R}\, uma seqüência de funções reais convergindo quase-sempre para um função f\,, então para todo \delta>0\, existe um conjunto mensurável F\subseteq E\, tal que \mu(E\backslash F)\leq\delta\, e f_n\to f\, uniformemente em F\,.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina os subconjuntos E_{k,n}\, de E\,:

 E_{k,n}=\bigcap_{j\ge n}\left\{x \in E : |f_i(x)-f(x)|\le \frac{1}{k}\right\}

Como \forall  k \ge 1, E_{k,1}\subseteq E_{k,2}\subseteq \ldots E_{k,n}\subseteq \ldots:

 \mu \left(\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n}\right)=\lim_{n \to \infty}\mu(E_{k,n}).

Ainda, como as funções f_n\, convergem \mu\,-quase-sempre para f\,, temos que, para todo k \ge 1\,:

 \mu \left(\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n}\right)=\mu(E)\,.

Fixe \delta>0\,. Dado que \mu(E)<\infty\,, existe para cada k \ge 1\, um inteiro n_k\, positivo tal que

 \mu(E_{k,n_k})\ge \mu(E)-2^{-k}\delta\,.

Definindo:

 F=\bigcap_{k \ge 1}E_{k,n_k}

tem-se:

\mu(E\backslash F)=\mu\left(E\backslash\bigcap_{k \ge 1}E_{k,n_k}\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\delta 2^{-k}=\delta

Para mostrar que f_n\, de fato converge uniformemente para f\, em F\,, escolha \varepsilon>0\,, e k\, inteiro positivo tal que \frac{1}{k}<\varepsilon\,, escolha n=n_k\, e o resultado segue pois F\subseteq E_{k,n_k}\,