Teorema de Fubini

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Na análise matemática, o teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas.

Enunciado do Teorema[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B espaços de medida completos. Suponha f(x,y) uma função A × B mensurável. Se

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,\text{d}(x,y)<\infty,

em que a integral é tomada com relação à medida produto associada ao espaço A × B, então

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{A\times B} f(x,y)\,\text{d}(x,y),

em que as duas primeiras integrais são integrais iteradas com relação a duas medidas, respectivamente, e a terceira é uma integral com relação ao produto dessas duas medidas.

A demonstração deste teorema é encontrada em livros de Análise Real[1] .

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O teorema de Fubini possui aplicações em inúmeras áreas das ciências exatas. Dentre as quais podemos citar:

Cálculo de integrais múltiplas[editar | editar código-fonte]

O cálculo de uma dada integral múltipla fica bastante simplicidado ao escrevermos a integral em integrais iteradas. Veja, por exemplo, o artigo Integral múltipla da Wikipédia. Além disso, vários exemplos para integrais duplas e triplas podem ser encontrados em livros de Cálculo[2] .

Integral gaussiana[editar | editar código-fonte]

Uma das aplicações do teorema de Fubini é na resolução da integral gaussiana que é a base para grande parte da teoria de probabilidades:

\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.

No artigo sobre integrais gaussianas pode-se ver como o teorema de Fubini pode ser usado para provar isso.

Referências

  1. Royden, H.L.. Real Analysis. 2.. ed. [S.l.]: Macmillan, 1968.
  2. Thomas, George B.. Cálculo - volume 2. 12. ed. [S.l.]: Pearson, 2003. ISBN 9788581430874.