Teorema de Fubini

Na análise matemática, o teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas.

Enunciado do Teorema

Sejam A e B espaço de medida completos. Suponha f(x,y) uma função A × B mensurável. Se

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,\text{d}(x,y)<\infty,$

em que a integral é tomada com relação à medida produto associada ao espaço A × B, então

$\int_A\left(\int_B f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{A\times B} f(x,y)\,\text{d}(x,y),$

em que as duas primeiras integrais são integrais iteradas com relação a duas medidas, respectivamente, e a terceira é uma integral com relação ao produto dessas duas medidas.

Aplicações

O teorema de Fubini possui aplicações em inúmeras áreas das ciências exatas. Dentre as quais podemos citar:

Integral gaussiana

Uma das aplicações do teorema de Fubini é na resolução da integral gaussiana que é a base para grande parte da teoria de probabilidades:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}\,\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$

No artigo sobre integrais gaussianas pode-se ver como o teorema de Fubini pode ser usado para provar isso.