Teorema de Hahn-Banach

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Em matemática, o teorema de Hahn-Banach é um resultado fundamental da análise funcional. Este teorema permite que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial sejam estendidos a todo o espaço.

O nome do teorema é em honra aos matemáticos Hans Hahn (austríaco) e Stefan Banach (polonês).

Ao contrário do teorema de Banach-Steinhaus e de Banach-Schauder, o teorema de Hahn-Banach não requer que o espaço seja completo.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja V\, um espaço vetorial sobre um corpo K\,, sendo K = \R\, ou K = \mathbb{C}. Dizemos que \rho:V\to \R\, é sublinear se:

\rho(\alpha x+\beta y)\leq |\alpha| \rho(x) + |\beta| \rho(y),~~\forall x,y\in V,~\forall a,b\in K\,

Então, se \phi:U\to K\, é uma aplicação linear, onde U\, é um subespaço linear de V\, e |\phi(x)|\leq \rho(x)\,, então existe \tilde{\phi}:V\to K\, linear tal que:

\tilde{\phi}(x)=\phi(x),~~\forall x\in U\,
|\tilde{\phi}(x)|\leq\rho(x),~~\forall x\in V\,

Esboço da demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina S\, o conjunto das extensões f de \phi\,, f:D(f)\to\ K\, com |f(x)|\leq \rho(x)\, parcialmente ordenado por:

f_1\leq f_2 \Longleftrightarrow D(f_1)\subseteq D(f_2) \hbox{ e } f_1(x)= f_2(x), ~\forall x\in D(f_1) \,

Para aplicar o lema de Zorn, mostraremos que todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior. Para tal seja \{f_\lambda\}\, para \lambda\in\Lambda\, desta forma. Defina:

D=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} é um espaço vetorial, pois é a união de um conjunto de espaços vetoriais totalmente ordenados por \subseteq\,.
f(x)=f_\lambda,~~x\in\lambda\, fica bem definida e linear e é uma cota maximal de \{f_\lambda\}\,.

Do lema de Zorn, defina \tilde{\phi}\, um elemento maximal de S\,. Vamos provar por absurdo que o domínio de \tilde{\phi}\, é todo espaço. Para tal suponha que não seja. Então existe y\in V\backslash D(\tilde{\phi})\,

Pode-se prolongar \tilde{\phi}\, em D(\tilde{\phi}) \oplus {\lambda y}\, como:

\tilde{\phi}(x +\lambda y)=\tilde{\phi}+\lambda q\,

Agora, basta escolher q\, de forma que esta extensão seja dominada por \rho\, e a contradição conclui o teorema.

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