Teorema de Lindemann–Weierstrass

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O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α1, α2, ...,αn são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais \Bbb{Q}, então e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2} \ldots, e^{\alpha_n} são algebricamente independentes sobre \Bbb{Q}; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo \mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n}) sobre \Bbb{Q} é n.

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que eα é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.

Transcendência de e e π[editar | editar código-fonte]

A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.

Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {eα} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, eα é transcendente. Em particular, e1 = e é transcendente.

Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass ei = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
  • F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213–225.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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