Teorema de Mordell-Weil

O teorema de Mordell-Weil é um teorema matemático realizado por André Weil em 1928. Configura uma extensão a grupos abelianos em relação ao teorema de Mordell de 1922, este relacionado às curvas elípticas sobre $\mathbb {Q}$.

Enunciado

O teorema de Mordell afirma que se $E:=y^{2}=f(x)$ é uma curva elíptica racional não singular, isto é que $f$ e $df$ não tenham raízes comuns, então o grupo dos pontos racionais $E(\mathbb {Q} )$ é um grupo abeliano finitamente gerado.

Isto quer dizer que este grupo vem a ser isomorfo ao produto $r$ vezes $\mathbb {Z}$ (a $r$ se lhe conhece pelo conjunto imagem da curva) multiplicados por sua vez por uma certa quantidade de grupos finitos i.e. $E(\mathbb {Q} )\cong \overbrace {\mathbb {Z} \oplus ...\oplus \mathbb {Z} } ^{r\;\;vezes}\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{1}^{\lambda _{1}}\mathbb {Z} }}\oplus ...\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{s}^{\lambda _{s}}\mathbb {Z} }}$

Se a curva é singular, então este teorema não é aplicável, mas além disso é que se mostra falso, pois então o grupo $E(\mathbb {Q} )$ vem a ser isomorfo a $\mathbb {Q}$ com a soma ou $\mathbb {Q} ^{*}$ com a multiplicação, que não são finitamente gerados.