Teorema de Mordell-Weil

O teorema de Mordell-Weil é um teorema matemático realizado por André Weil em 1928. Configura uma extensão a grupos abelianos em relação ao teorema de Mordell de 1922, este relacionado às curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$.

Enunciado

O teorema de Mordell afirma que se $E:=y^2=f(x)$ é uma curva elíptica racional não singular, isto é que $f$ e $df$ não tenham raízes comuns, então o grupo dos pontos racionais $E(\mathbb{Q})$ é um grupo abeliano finitamente gerado.

Isto quer dizer que este grupo vem a ser isomorfo ao produto $r$ vezes $\mathbb{Z}$ (a $r$ se lhe conhece pelo conjunto imagem da curva) multiplicados por sua vez por uma certa quantidade de grupos finitos i.e. $E(\mathbb{Q})\cong\overbrace{\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}}^{r\;\; vezes }\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{\lambda_1}\mathbb{Z}}\oplus...\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_s^{\lambda_s}\mathbb{Z}}$

Se a curva é singular, então este teorema não é aplicável, mas além disso é que se mostra falso, pois então o grupo $E(\mathbb{Q})$ vem a ser isomorfo a $\mathbb{Q}$ com a soma ou $\mathbb{Q}^*$ com a multiplicação, que não são finitamente gerados.