Teorema de Pappus

Hexágono XbCYcB cujos lados são formados pelas linhas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA. Se as linhas Xb,BC,&cY são concorrentes e se BX,cb,&YC são concorrentes, então as linhas Bc,XY,&bC devem ser também concorrentes, de acordo com o Teorema de Pappus.

O teorema de Pappus (atribuido a Pappus de Alexandria) afirma que dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos lineares a, b, c, então os pontos de intersecção x, y, z dos pares de linha Ab e aB, Ac e aC, Bc e bC são colineares.

A dualidade desse teorema afirma que dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definida pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção A∩b e a∩B, A∩c e a∩C, B∩c e b∩C são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Afirmação e prova do teorema de Pappus

Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Pappus.

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

$\langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle = 0$

e se

$\langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle = 0$

então

$\langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle = 0.$

Prova

Sendo

$\alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle$

$\beta = \langle U \times Z, X \times V, Y \times W \rangle$

$\gamma = \langle U \times W, X \times Z, Y \times V \rangle$

Nós temos que demonstrar que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.

Passo 1

Utilizando a identidade

$\langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle$

podemos expressar $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$ na seguinte forma equivalente:

$\alpha = \langle U \times V, X \times W, Y \times Z \rangle$

$\beta = \langle Y \times W, U \times Z, X \times V \rangle$

$\gamma = \langle X \times Z, Y \times V, U \times W \rangle$

Passo 2

Aplicando as propriedades

$\langle A,B,C\rangle = A \cdot (B \times C)$

$A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$

obtemos

$\alpha = (U \times V) \cdot ((X \times W) \times (Y \times Z))$

$\beta = (Y \times W) \cdot ((U \times Z) \times (X \times V))$

$\gamma = (X \times Z) \cdot ((Y \times V) \times (U \times W))$

e então

$\alpha = (U \times V) \cdot (\langle X,W,Z\rangle Y - \langle X,W,Y\rangle Z)$

$\beta = (Y \times W) \cdot (\langle U,Z,V\rangle X - \langle U,Z,X\rangle V)$

$\gamma = (X \times Z) \cdot (\langle Y,V,W\rangle U - \langle Y,V,U\rangle W)$

Passo 3

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

$\alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta = \langle U,Z,V\rangle \langle Y,W,X\rangle - \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle$

$\gamma = \langle Y,V,W\rangle \langle X,Z,U\rangle - \langle Y,V,U\rangle \langle X,Z,W\rangle$

Passo 4

Com as identidades

$\langle A,B,C\rangle = \langle C,A,B\rangle = \langle B,C,A\rangle$

$\langle A,B,C\rangle = -\langle A,C,B\rangle = -\langle C,B,A\rangle = -\langle B,A,C\rangle$

Podemos permutar os termos como segue:

$\alpha = \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle - \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\beta = -\langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle + \langle X,W,Y\rangle \langle U,V,Z\rangle$

$\gamma = \langle U,Z,X\rangle \langle Y,W,V\rangle - \langle X,W,Z\rangle \langle U,V,Y\rangle$

Passo 5

Agora podemos somar as equações para obter:

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

$\gamma = -(\alpha + \beta)$

de onde segue que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.

Ver também

• Geometria plana
• Geometria projetiva
• Pappus de Alexandria