Teorema de Perron-Frobenius

Em álgebra linear, o Teorema de Perron-Frobenius, provado por Oskar Perron (1907) e Georg Frobenius (1912), afirma que uma matriz real quadrada com entradas positivas tem um único maior autovalor e que o correspondente autovetor tem componentes estritamente positivos, e também afirma uma declaração semelhante para certas classes de matrizes não negativas. Este teorema tem aplicações importantes para a teoria de probabilidade (ergodicidade de cadeias de Markov ), para a teoria de sistemas dinâmicos; à Economia (modelo de Leontief) ; à demografia (modelo de distribuição etária de população Leslie) à base matemática de motores de busca na internet e até mesmo a classificação dos times de futebol .

Caso com matrizes positivas

A teoria de matrizes não-negativas assume sua forma mais simples e elegante para matrizes positivas e é para esse caso que Oskar Perron fez descobertas fundamentais em 1907 (apud ). Agora, resumiremos seus principais resultados em um teorema que leva seu nome.

Teorema de Perron

Se $A$ é uma matriz quadrada e $A>0$, então

• (a) $\rho(A)>0$
• (b) $\rho(A)$ é um autovalor de $A$
• (c) Existe um vetor $x$ tal que $x>0$ e $Ax=\rho(A)x$
• (d) $\rho(A)$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples
• (e) $| \lambda | < \rho(A)$ para todo autovalor de $A$ tal que $\lambda \neq \rho(A)$, ou seja, $\rho(A)$ é o único autovalor de maior módulo
• (f) $[\rho(A)^{-1}A]^m \rightarrow H$ quando $m\rightarrow\infty$, onde $H=xy^T$, $Ax=\rho(A)x$, $A^Ty=\rho(A)y$, $x>0$, $y>0$ e $x^Ty=1$.

O único autovetor normalizado caracterizado no item (c) do Teorema de Perron é frequentemente chamado de vetor de Perron de $A$ e $\rho(A)$ é frequentemente chamado de raiz de Perron de $A$. Obviamente, $A^T$ é uma matriz positiva se $A$ é positiva. Assim, o Teorema de Perron se aplica à matriz $A^T$ também. O vetor de Perron de $A^T$ é chamado de vetor de Perron à esquerda de $A$ .

Caso com matrizes não-negativas e irredutíveis

Quando nos deparamos com matrizes não-negativas que não são positivas, é necessário considerar uma extensão do Teorema de Perron para o caso em que nem todas entradas da matriz são estritamente positivas.

Teorema

Se $A$ é uma matriz quadrada e $A\geq 0$, então $\rho(A)$ é um autovalor de $A$ e existe um autovetor não-negativo $x\geq 0$, $x \neq 0$, tal que $Ax=\rho(A)x$.

Entretanto, sem hipóteses adicionais, não podemos ir muito além do teorema acima na generalização do Teorema de Perron para matrizes não-negativas.

Quando $A\geq 0$, o autovalor não-negativo $\rho(A)$ é chamado raiz de Perron de $A$. Visto que um autovetor associado com a raiz de Perron de uma matriz não-negativa não é necessariamente unicamente determinado (a menos quando $A$ é positiva), não existe uma noção bem determinada de o vetor de Perron para uma matriz não-negativa. Por exemplo, a matriz $A=I$ possui todo vetor não-negativo como um autovetor associado com a raiz de Perron $\rho(A)=1$.

Agora, veremos como o Teorema de Perron se generaliza para matrizes não-negativas e irredutíveis. O nome de Frobenius é associado à generalização dos resultados de Perron sobre matrizes positivas para matrizes não-negativas segundo , pois os primeiros resultados para tais matrizes foram obtidas por Georg Frobenius em 1912.

Teorema de Perron-Frobenius

Se $A$ é uma matriz quadrada, não-negativa e irredutível, então,

• (a) $\rho(A)>0$
• (b) $\rho(A)$ é um autovalor de $A$
• (c) Existe um vetor $x$ positivo tal que $Ax=\rho(A)x$
• (d) $\rho(A)$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples

O teorema garante que o autoespaço de uma matriz não-negativa e irredutível associado com a raiz de Perron é unidimensional. Para uma matriz não-negativa e irredutível, o único autovetor positivo normalizado também é chamado de vetor de Perron.

Ver também

• Operador positivo
• Matriz Hermitiana