Teorema de Picard-Lindelöf

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Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de t_0\, para o problema de valor inicial:

\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\
y(t_0)=y_0
\end{array}
\,

onde f(x,t)\, é uma função contínua na variável t\, e Lipschitz contínua na variável x\,.

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja f(x,t):[y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\to\mathbb{R} uma função contínua tal que:

\left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq L |x-y|,~~ \forall x,y,t \in \mathbb{R}\, para algum L\, positivo.

Então existe um número h\, positivo tal que o problema de valor inicial

\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\
y(t_0)=y_0
\end{array}
\,

admite uma única solução no intervalo [t_0-h,t_0+h]\,.

As iterações de Picard[editar | editar código-fonte]

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por n\,:

y_0(t)=y_0\,
y_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Assuma que y(t)\, e z(t)\, sejam solução do problema, então a diferença w(t)=y(t)-z(t)\, satisfaz:

\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\
w(t_0)=0
\end{array}
\,

Integrando temos:

w(t)=\int_{t_0}^{t}\left[f(y(\tau),\tau)-f(z(\tau),\tau)\right]d\tau,~~t\in [t_0,t_0+h]\,

Usando a condição de Lipschitz, temos:

|w(t)|\leq \int_{t_0}^{t}\left|f(y(\tau),\tau)-f(z(\tau),\tau)\right|d\tau \leq L\int_{t_0}^{t}\left|w(\tau)\right|d\tau ,~~t\in [t_0,t_0+h]\,

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que w(t)\equiv 0\, e, portanto, y(t)\equiv z(t)\, como queríamos. A demonstração no intervalo [t_0-h,t_0]\, é perfeitamente análoga.

Existência[editar | editar código-fonte]

Como f\, é contínua em [y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\,, existe uma constante M>0\, tal que:

|f(x,t)|\leq M, \forall (x,t)\in[y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\,

Fixe h>0\, tal que:

Mh\leq a\,

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere y_0=0\,. Defina as iterações de Picard:

y_0(t)=y_0\,
y_{n+1}(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,

É fácil estabelecer por indução que:

\left|y_{n}(t)-y_0\right|\leq \int_{0}^{|t|}\left|f(y_{n-1}(\tau),\tau)\right|d\tau\leq Mt\leq Mh\leq a\,

Isto garante que y_n\in [y_0-a;y_0+a],~~\forall n=1,2,3,\ldots\,

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em n\,:

\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq\frac{ML^n|t|^n}{n!}\,
  • Base:
\left|y_{1+k}(t)-y_1(t)\right|\leq\int_{0}^{|t|}\left|f(y_{k}(\tau),\tau)-f(y_{0}(\tau),\tau)\right|d\tau\,
\left|y_{1+k}(t)-y_1(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|}\left|y_{k}(\tau)-y_{0}(\tau)\right|   d\tau\leq ML|t| \,
  • Indução:
\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq\int_{0}^{|t|}\left|f(y_{n+k-1}(\tau),\tau)-f(y_{n-1}(\tau),\tau)\right|d\tau\,
\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|}\left|y_{n+k-1}(\tau)-y_{n-1}(\tau)\right|d\tau   \,
\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|} \frac{ML^{n-1}|t|^{n-1}}{(n-1)!} d\tau =\frac{ML^n|t|^n}{n!} \,

Como \frac{ML^n|t|^n}{n!} \leq \frac{ML^n h^n}{n!} \to 0,~~n\to\infty\,, temos que as funções y_n(t)\, convergem uniformemente no intervalo [t_0-h,t_0+h]\, para uma função contínua y\,

Tomando o limite em:

y_{n+1}(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,

temos:

y(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y(\tau),\tau)d\tau\,

Neste limite usamos que f(y_n(\tau),\tau)\to f(y(\tau),\tau)\, uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como f(y(\tau),\tau)\, é contínua em \tau\,, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)\,

E o resultado segue.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja f(x,t):V\times[t_0-b,t_0+b]\to\mathbb{X} uma função contínua tal que:

\left\|f(x,t)-f(y,t)\right\|\leq L \|x-y\|,~~ \forall x,y,t \in \mathbb{R}\, para algum L\, positivo. Onde \mathbb{X}\, é um espaço de Banach e V\, é uma aberto contido nele.

Então existe um número h\, positivo tal que o problema de valor inicial

\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\
y(t_0)=y_0\in\mathbb{V}
\end{array}
\,

admite uma única solução no intervalo t\in[t_0-h,t_0+h]\,.

A derivada \frac{d}{dt}\, deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações[editar | editar código-fonte]

  • O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
  • As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O problema:
\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}y(t)=y(t)^2\\
y(t_0)=1
\end{array}
\,

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

y(t) = \frac{1}{1-t}, ~~t<1~\,
  • O problema:
\begin{array}{ll}
\frac{d }{dt}y(t)=\sqrt{|y(t)|}\\
y(t_0)=0\end{array}
\,

não satisfaz as condições do teorema, pois f\, não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

y(t) = 0\,
y(t) = \frac{t^2}{4}\,