Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de $t_0\,$ para o problema de valor inicial:

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0 \end{array} \,$

onde $f(x,t)\,$ é uma função contínua na variável $t\,$ e Lipschitz contínua na variável $x\,$.

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado

Seja $f(x,t):[y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua tal que:

$\left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq L |x-y|,~~ \forall x,y,t \in \mathbb{R}\,$ para algum $L\,$ positivo.

Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0 \end{array} \,$

admite uma única solução no intervalo $[t_0-h,t_0+h]\,$.

As iterações de Picard

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por $n\,$:

$y_0(t)=y_0\,$

$y_{n+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,$

Unicidade

Assuma que $y(t)\,$ e $z(t)\,$ sejam solução do problema, então a diferença $w(t)=y(t)-z(t)\,$ satisfaz:

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\ w(t_0)=0 \end{array} \,$

Integrando temos:

$w(t)=\int_{t_0}^{t}\left[f(y(\tau),\tau)-f(z(\tau),\tau)\right]d\tau,~~t\in [t_0,t_0+h]\,$

Usando a condição de Lipschitz, temos:

$|w(t)|\leq \int_{t_0}^{t}\left|f(y(\tau),\tau)-f(z(\tau),\tau)\right|d\tau \leq L\int_{t_0}^{t}\left|w(\tau)\right|d\tau ,~~t\in [t_0,t_0+h]\,$

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que $w(t)\equiv 0\,$ e, portanto, $y(t)\equiv z(t)\,$ como queríamos. A demonstração no intervalo $[t_0-h,t_0]\,$ é perfeitamente análoga.

Existência

Como $f\,$ é contínua em $[y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\,$, existe uma constante $M>0\,$ tal que:

$|f(x,t)|\leq M, \forall (x,t)\in[y_0-a,y_0+a]\times[t_0-b,t_0+b]\,$

Fixe $h>0\,$ tal que:

$Mh\leq a\,$

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere $y_0=0\,$. Defina as iterações de Picard:

$y_0(t)=y_0\,$

$y_{n+1}(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,$

É fácil estabelecer por indução que:

$\left|y_{n}(t)-y_0\right|\leq \int_{0}^{|t|}\left|f(y_{n-1}(\tau),\tau)\right|d\tau\leq Mt\leq Mh\leq a\,$

Isto garante que $y_n\in [y_0-a;y_0+a],~~\forall n=1,2,3,\ldots\,$

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em $n\,$:

$\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq\frac{ML^n|t|^n}{n!}\,$

• Base:

$\left|y_{1+k}(t)-y_1(t)\right|\leq\int_{0}^{|t|}\left|f(y_{k}(\tau),\tau)-f(y_{0}(\tau),\tau)\right|d\tau\,$

$\left|y_{1+k}(t)-y_1(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|}\left|y_{k}(\tau)-y_{0}(\tau)\right| d\tau\leq ML|t| \,$

• Indução:

$\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq\int_{0}^{|t|}\left|f(y_{n+k-1}(\tau),\tau)-f(y_{n-1}(\tau),\tau)\right|d\tau\,$

$\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|}\left|y_{n+k-1}(\tau)-y_{n-1}(\tau)\right|d\tau \,$

$\left|y_{n+k}(t)-y_n(t)\right|\leq L\int_{0}^{|t|} \frac{ML^{n-1}|t|^{n-1}}{(n-1)!} d\tau =\frac{ML^n|t|^n}{n!} \,$

Como $\frac{ML^n|t|^n}{n!} \leq \frac{ML^n h^n}{n!} \to 0,~~n\to\infty\,$, temos que as funções $y_n(t)\,$ convergem uniformemente no intervalo $[t_0-h,t_0+h]\,$ para uma função contínua $y\,$

Tomando o limite em:

$y_{n+1}(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y_n(\tau),\tau)d\tau,~~n\ge 0\,$

temos:

$y(t)=y_0+\int_{0}^{t}f(y(\tau),\tau)d\tau\,$

Neste limite usamos que $f(y_n(\tau),\tau)\to f(y(\tau),\tau)\,$ uniformemente, isto é conseqüência da continuidade uniforme que é valida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como $f(y(\tau),\tau)\,$ é contínua em $\tau\,$, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

$\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)\,$

E o resultado segue.

Generalizações

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja $f(x,t):V\times[t_0-b,t_0+b]\to\mathbb{X}$ uma função contínua tal que:

$\left\|f(x,t)-f(y,t)\right\|\leq L \|x-y\|,~~ \forall x,y,t \in \mathbb{R}\,$ para algum $L\,$ positivo. Onde $\mathbb{X}\,$ é um espaço de Banach e $V\,$ é uma aberto contido nele.

Então existe um número $h\,$ positivo tal que o problema de valor inicial

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}y(t)=f(y(t),t)\\ y(t_0)=y_0\in\mathbb{V} \end{array} \,$

admite uma única solução no intervalo $t\in[t_0-h,t_0+h]\,$.

A derivada $\frac{d}{dt}\,$ deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações

• O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
• As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos

• O problema:

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}y(t)=y(t)^2\\ y(t_0)=1 \end{array} \,$

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

$y(t) = \frac{1}{1-t}, ~~t<1~\,$

• O problema:

$\begin{array}{ll} \frac{d }{dt}y(t)=\sqrt{|y(t)|}\\ y(t_0)=0\end{array} \,$

não satisfaz as condições do teorema, pois $f\,$ não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

$y(t) = 0\,$

$y(t) = \frac{t^2}{4}\,$