Teorema de Pitágoras

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O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.[1] Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar

c^2 = b^2 + a^2,

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,[2] [3] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).[4] [5] [6]

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Fórmula e corolários[editar | editar código-fonte]

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

c^2 = a^2 + b^2.

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:

 c=\sqrt{b^2+a^2},      b=\sqrt{c^2-a^2}   e  a=\sqrt{c^2-b^2} .

Outro corolário do teorema é que:

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras.[8] O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.[9] Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.[10] E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.[11] [12] [13] O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas[editar | editar código-fonte]

Pythagorean proof.png
  1. Desenha-se um quadrado de lado b + a;
  2. De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, a e b: Traça-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado;
  3. Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
  4. A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a b^2 + a^2;
  5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado c.
  6. Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a c^2.

Como b^2 + a^2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c^2 representa a mesma área, então b^2 + a^2 = c^2. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Por semelhança de triângulos[editar | editar código-fonte]

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,[14] marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

 \frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ e } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

a^2=c\times e \mbox{ e }b^2=c\times d.

Somando estas duas igualdades, obtém-se

a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2 ,

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2 \ .

Uma variante[15] [16] [17] [editar | editar código-fonte]

Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

Demonstração de Bhaskara[18] [editar | editar código-fonte]

Teorema-pitagoras-area-quadrado.png

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

c^2 = 4 \cdot \frac {ab}{2}+ (b-a)^2

Logo:

c^2 = 2ab + b^2 -2ba + a^2 (o termo (b-a)² é um produto notável)
c^2 = b^2 + a^2 \ . (por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencial[editar | editar código-fonte]

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

Demonstração que usa equações diferenciais.

Como resultado da mudança da no lado a,

\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,

c\, dc = a\,da

por separação de variáveis.

que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.

Pela integração, segue:

c^2 = a^2 + \mathrm{constante}.

Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b2. Logo,

c^2 = a^2 + b^2.

Num espaço com um produto interno[editar | editar código-fonte]

Pode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessa situação:

\|x\| ^2 = \langle x, x \rangle.

Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:

 \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle = 0.

Segue então:

\|x+y\|^2= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle =\|x\|^2+\|y\|^2,

que é o teorema de Pitágoras.

Pelo rearranjo das partes[editar | editar código-fonte]

Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos.
Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.[19]

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que a2 + b2 = c2.

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c 2 tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2, mostrando que c 2 = a 2 + b 2.

Recíproca[editar | editar código-fonte]

O "triângulo egípcio", de medidas 3, 4, 5, e, portanto, um triângulo retângulo.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira[20] :

"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.[21]

Consequências e usos[editar | editar código-fonte]

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Na geometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema.[22] É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos.[23] E por extensão, em todos os poliedros.

A diagonal do quadrado[editar | editar código-fonte]

Square with diagonal.PNG

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, segue que:

d^2=l^2+l^2=2\,l^2.

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

d =\sqrt{2\,l^2}=l \sqrt{2}.[24]

A altura do triângulo equilátero[editar | editar código-fonte]

Equilateral triangle.PNG

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e h a altura, segue que:

l^2=h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=h^2+\frac{l^2}{4}
h^2=\frac{3\,l^2}{4}.

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:

h= \sqrt{\frac{3\,l^2}{4}}= \frac{l\sqrt3}{2}.[24]

A diagonal do cubo[editar | editar código-fonte]

AC' (em azul) é uma diagonal do cubo, enquanto AC (em vermelho) é uma diagonal de uma de suas faces.

Seja a a medida da aresta de um cubo (isto é, a medida de um lado de uma das faces quadradas), pelo teorema de Pitágoras:

AC^2=a^2+a^2. (I)

Pelo mesmo teorema, tem-se que:

AC'^2=a^2+AC^2. (II)

De I e II:

AC'^2=a^2+a^2+a^2.

Então:

AC'=\sqrt {3a^2}=\sqrt {3}a.[25]

Nas geometrias n-dimensionais, por raciocínio análogo pode-se obter pelo teorema de Pitágoras os valores das diagonais do hipercubo unitário em função de sua respectiva dimensão: As diagonais de quadrado, cubo, tesserato e n-cubo unitários medem, respectivamente, \sqrt {2}, \sqrt {3}, \sqrt {4} (ou seja, 2) e \sqrt {n}.[26] [27] [28] [29]

Identidade trigonométrica fundamental[editar | editar código-fonte]

Trig Functions.PNG
\mathrm{sen}\, \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.

Disso, segue que:

 {\cos}^2 \theta + {\mathrm{sen}\,}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,

Ternos pitagóricos[editar | editar código-fonte]

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos a, b, e c, tais que a 2 + b 2 = c 2. Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b, c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos (o máximo divisor comum de a, b e c é 1).

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Números irracionais como comprimento[editar | editar código-fonte]

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos incomensuráveis (ou seja, cuja razão é um número irracional, tal como a raiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como régua e compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos de medida unitária tem uma hipotenusa de comprimento igual à raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais à raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Valor de pi[editar | editar código-fonte]

A fórmula para o novo perímetro em cada duplicação é deduzida dos triângulos retângulos que surgem na construção.

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes utilizou o teorema de Pitágoras para calcular uma aproximação para o valor do número pi. Ele fez isso posicionando um hexágono regular circunscrito a um círculo e um hexágono regular menor inscrito no círculo, e então realizando a progressiva duplicação do número de lados de cada polígono regular assim obtido, cujo perímetro em cada nova etapa ele calculava por meio do teorema de Pitágoras.[30]

Distância entre dois pontos[editar | editar código-fonte]

O teorema de Pitágoras pode ser traduzido para a linguagem das coordenadas de Descartes:

Seja A=(x_1,y_1) e B=(x_2,y_2). Para auxiliar, seja C=(x_2,y_1).

Como A e C possuem mesma ordenada, d(A,C)=\left|x_1-x_2 \right|.

Como B e C possuem mesma abcissa, d(B,C)=\left| y_1-y_2 \right|

Então d(A,B)=\sqrt[]{d(A,C)^2+d(B,C)^2}=\sqrt[]{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.[31]

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\theta},

onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Teorema de Gua[editar | editar código-fonte]

De gua theorem 1.svg

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os "catetos"), o quadrado da área da "hipotenusa" (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Figuras semelhantes nos três lados[editar | editar código-fonte]

Pythagoras generalizatoin 1.JPG

O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livro Os Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:[32] [33]

Nas geometrias não euclidianas[editar | editar código-fonte]

O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e de fato, a versão euclidiana não é válida nas geometrias não euclidianas.[34] (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado das paralelas, que por sua vez, é equivalente à afirmação de que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos", usada em todas as demonstrações apresentadas do teorema).[35] Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

Quanto aos espaços vetoriais, em alguns deles o teorema de Pitágoras (ou mesmo generalizações dele) é verdadeiro e em outros ele é falso.[36] Sabe-se, por exemplo, que o teorema de Pitágoras é verdadeiro em espaços pré-hilbertianos.[37] [38] Erhard Schmidt provou o teorema de Pitágoras para espaços vetoriais abstratos com produto interno.[39] Dieter Brill e Ted Jacobson derivaram o análogo do teorema de Pitágoras no espaço minkowskiano (que chamaram de "Teorema de Pitágoras para o espaço-tempo").[40]

Embora o teorema de Pitágoras seja necessariamente falso em qualquer espaço descontínuo, Jean Paul Van Bendegem mostrou que num espaço desse tipo o teorema de Pitágoras pode ser usado como aproximação dentro de certos limites de tolerância.[41]

O teorema de Pitágoras também foi generalizado para as geometrias riemannianas.[42] Investigações nesse tema remontam ao próprio Bernhard Riemann, e a questão acerca da validade do teorema de Pitágoras na vizinhança de um ponto foi abordada por, dentre outros, Hermann von Helmholtz, Sophus Lie e Hermann Weyl.[43]

História[editar | editar código-fonte]

A tabuleta Plimpton 322 registra ternos pitagóricos. (ver também: Matemática babilônica)
Ilustração do livro Chou Pei Suan Ching, que sugere uma demonstração do teorema para um triângulo específico (de lados 3, 4 e 5).

O teorema de Pitágoras foi descoberto independentemente nas antigas civilizações babilônica, indiana, chinesa e grega.[44]

A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de trios pitagóricos, conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo, conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

Egito[editar | editar código-fonte]

O historiador da matemática alemão Moritz Cantor, tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em agrimensura, especulou que eles construíam ângulos retos por meio de um uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5.[45] Bartel van der Waerden afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação,[45] visão compartilhada por Thomas Little Heath.[46]

Mesopotâmia[editar | editar código-fonte]

Há provas que os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a.C. a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.

Índia[editar | editar código-fonte]

Na Índia, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana em data incerta entre os séculos VIII a.C. e II a.C., contém unha lista de trios pitagóricos descobertos algebricamente, um enunciado do teorema de Pitágoras, e uma demostração geométrica deste para um triângulo retângulo isósceles. O Sulba Sutra de Apastamba (ca. 600 a.C.) contém uma demostração numérica do caso geral do teorema de Pitágoras, usando cálculo de áreas. Van der Waerden acreditava que esta demostração "estava certamente baseada em tradições antigas". Carl Benjamin Boyer pensava que os elementos achados em Śulba-sũtram deviam ter raízes mesopotâmicas.[47]

China[editar | editar código-fonte]

Na China, o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema. [48]

Grécia[editar | editar código-fonte]

Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos algébricos para construir trios pitagóricos, de acordo com os comentários de Proclo sobre Euclides. Proclo, porém, escreveu entre os anos 410 e 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861–1940), não existe nenhuma atribuição específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores à época em que Pitágoras viveu.[49] No entanto, quando autores como Plutarco e Cícero atribuíram o teorema a Pitágoras, fizeram-no de tal forma que sugeria que esta atribuição era amplamente conhecida e livre de qualquer dúvida[50] [49] . "Se esta fórmula é corretamente atribuída ao próprio Pitágoras, [...] pode-se assumir com certeza que pertence ao período mais antigo da matemática pitagórica"[51]

Segundo Proclo, por volta do ano 400 a.C. Platão forneceu um método para encontrar trios pitagóricos que combinava álgebra e geometria. A demostração axiomática do teorema mais antiga que se conhece aparece nos Elementos de Euclides, que data aproximadamente do ano 300 a.C.[52]

Referências

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  3. Heath, Vol I, p. 144.
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  7. Uma generalização disso é a desigualdade triangular.
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  11. Proof #6
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  14. Pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus (32ª proposição de Euclides).
  15. John Denker, Introduction to Scaling Laws
  16. [1] Blog de Terence Tao
  17. 2ª edição do número especial da Revista do Professor de Matemática – RPM, pgs. 34-39.
  18. Proof #6 in Jim Loy, The Pythagorean Theorem
  19. Alexander Bogomolny. Pythagorean Theorem, proof number 10 Cut the Knot. Visitado em 27 February 2010.
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  21. James Stuart Tanton. Encyclopedia of Mathematics, pg. 426.
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  23. Rhoad, Milauskas & Whipple. Geometry for Enjoyment and Challenge, pg 384.
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  25. Ira K. Wolf. How to Prepare for the SAT II: Math Level IC, pg. 91.
  26. Banchoff - Diagonals of Cubes in Different Dimensions.
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  45. a b Craig Smorynski - History of Mathematics: A Supplement, pg. 14
  46. Eli Maor - The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, pg. 15
  47. Boyer, Carl Benjamin. In: Wiley. A history of mathematics (em inglês). [S.l.: s.n.], 1968. Capítulo China and India. p. 229. ("encontramos regras para a construção de ângulos retos mediante o uso de cordas divididas em três partes cujas longitudes formam uma terna pitagórica, como, por exemplo 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17 ou 12:35:37. Porém todas estas ternas podem ser derivadas facilmente das antigas regras babilônicas; por tanto, é bastante provável a influencia mesopotâmica nos Sulvasũtras. Aspastamba sabia que o quadrado da diagonal de um retângulo é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes, mas esta forma do teorema de Pitágoras também pode ser derivada da Mesopotâmia. [...] Tão conjecturais são a origem e o período dos Sulvasũtras que não se pode dizer se estas regras estão relacionadas ou não com a agrimensura egípcia ou com o posterior problema grego da duplicação do altar. Há várias datações num amplo período de quase um milênio, desde o século VIII a.C. até o século II de nossa era."). Veja-se também A History of Mathematics (em inglês). 3ª. ed. [S.l.: s.n.], 2010. ISBN 0-470-52548-7.
  48. Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem (em inglês)
  49. a b Os Elementos (em <Língua não-reconhecida>). [S.l.]: Dover (ed.), 1956. vol. 1 (Libros I e II). ISBN 0-486-60088-2.
  50. *Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). Dover Publications, Inc. (1981). ed. [S.l.]: Clarendon Press, Oxford, 1921. p. 144 ff. ISBN 0-486-24073-8.
  51. Uma cuidadosa discussão das contribuições de Hipaso pode ser encontrada em Kurt Von Fritz. (Abril, 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum" (em inglês) 46 (2): 242–264.
  52. Asger. In: Mathematical Association of America. Episodes from the early history of mathematics (em inglês). [S.l.: s.n.], 1997. ISBN 0-88385-613-1. ("... não foi antes de Euclides que achamos uma sequência lógica de teoremas gerais com demostrações adequadas.")

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]