Teorema de Rolle

Ilustração do Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em Análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua $f$ definida num intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, se $f(a)=f(b)$ então existe algum ponto $c$ em $(a,b)$ onde a tangente ao gráfico de $f$ é horizontal, isto é,

$f'(c)=0.\,$

Demonstração

Como $f$ é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo $[a,b]$ um máximo $M$ e um mínimo $m$.

Se $M = m = f(a) = f(b)$ então $f$ é constante no intervalo considerado, e consequentemente a derivada é $0$ em todos os pontos, pelo que o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha-se agora que $M \neq m$

Então a função admite no interior do intervalo $[a,b]$ um máximo, um mínimo ou até os dois.

Admita-se que $f$ admite o valor máximo $M$ no ponto $c$ tal que $a<c<b$.

Então para valores de $x<c\,$ vem $x-c<0\,$ e também $f(x)-f(c)\le 0$ e portanto

$\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0$.

Como $f$ é diferenciável no intervalo, vem

$\lim_{x \to c^-}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \ge 0.$

Para valores de $c$ á direita de $x$,

$x-c>0\,$ e $f(x)-f(c)\le 0$ e portanto

$\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \le 0,$

e também,

$\lim_{x \to c^+}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \le 0.$

Mas então conclui-se que

$f'(c) \ge 0$ e $f'(c) \le 0,$

o que só é possível se

$f'(c) = 0$,

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria idêntica se em vez de um máximo admitíssemos a existência dum mínimo no intervalo.

Corolários

1. Resulta do teorema de Rolle que, se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, então entre quaisquer dois zeros de $f$ há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio $p(x)$ de grau $n$ com coeficientes reais tem, no máximo, $n$ raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
2. Se $I$ for um intervalo de R e se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de $f$ (podendo não existir nenhum).