Teorema de Rolle

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Ilustração do Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em Análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), se f(a)=f(b) então existe algum ponto c em (a,b) onde a tangente ao gráfico de f é horizontal, isto é,

f'(c)=0.\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como f é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo [a,b] um máximo M e um mínimo m.

Se M = m = f(a) = f(b) então f é constante no intervalo considerado, e consequentemente a derivada é 0 em todos os pontos, pelo que o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha-se agora que M \neq m

Então a função admite no interior do intervalo [a,b] um máximo, um mínimo ou até os dois.

Admita-se que f admite o valor máximo M no ponto c tal que a<c<b.

Então para valores de x<c\, vem x-c<0\, e também f(x)-f(c)\le 0 e portanto

\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0.

Como f é diferenciável no intervalo, vem

\lim_{x \to c^-}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \ge 0.

Para valores de c à direita de x,

x-c>0\, e f(x)-f(c)\le 0 e portanto

\frac {f(x)-f(c)}{x-c} \le 0,

e também,

\lim_{x \to c^+}\frac {f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \le 0.

Mas então conclui-se que

f'(c) \ge 0 e f'(c) \le 0,

o que só é possível se

f'(c) = 0,

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria idêntica se em vez de um máximo admitíssemos a existência dum mínimo no intervalo.[1]

Corolários[editar | editar código-fonte]

  1. Resulta do teorema de Rolle que, se I for um intervalo de R e se f for uma função derivável de I em R, então entre quaisquer dois zeros de f há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio p(x) de grau n com coeficientes reais tem, no máximo, n raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
  2. Se I for um intervalo de R e se f for uma função derivável de I em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de f (podendo não existir nenhum).[2]

Referências

  1. Maria Augusta Ferreira Neves, Matemática 12º. Livro de texto. Porto Editora, Porto, 1986, pp. 210-211
  2. Maria Augusta Ferreira Neves, Matemática 12º. Livro de texto. Porto Editora, Porto, 1986, pp. 212-213