Teorema de Stone-Weierstrass

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Em matemática, o teorema da aproximação de Stone-Weierstrass afirma que toda função real contínua cujo domínio é um intervalo compacto, ou seja, fechado e limitado pode ser aproximado uniformemente por polinômios.

Várias generalizações deste teorema foram estabelecidas, como, por exemplo, generalizando a família de aproximantes (que podem ser substituídos por qualquer álgebra de funções com certas propriedades) ou substituindo o domínio por um compacto qualquer.


Demonstração da versão real[editar | editar código-fonte]

A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein.

Seja f:[a,b]\to\mathbf{R} uma função contínua. Então para todo \varepsilon>0, existe um polinômio P(x) tal que:

\|P(x)-f(x)\|_{L^{\infty}[a,b]}\leq \varepsilon, ou seja: |P(x)-f(x)|\leq\varepsilon, \forall x\in[a,b].

Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor a=0 e b=1.

Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:

\begin{array}{rcl}\sum_{i=0}^n\left(x-i/n\right)^2B_i^n&=&x^2\sum_{i=0}^nB_i^n-2x\sum_{i=0}^ni/nB_i^n+\sum_{i=0}^n(i/n)^2B_i^n\\
&=& x^2 - 2x^2 + \frac{(n-1)}{n}x^2 +\frac{x}{n}= \frac{x-x^2}{n}\leq \frac{1}{4n}, ~x\in [0,1]
\end{array} (Veja polinómios de Bernstein)

Como f(x) é uma função contínua em um compacto, f(x) é também uniformemente contínua. Logo existe \delta>0 tal que |f(x)-f(y)|<\varepsilon/2 sempre que |x-y|<\delta e 0\leq x,y\leq 1 e ainda existe uma constante M tal que |f(x)|\leq M.

Agora, defina:

P_n(x)=\sum_{i=0}^nf\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)

Como \sum_{i=0}^nB_i^n(x)=1, vale que f(x)=\sum_{i=0}^nf(x)B_i^n(x) e vale a estimativa:

\begin{array}{rcl}|f(x)-P_n(x)|&\leq&\displaystyle\sum_{i=0}^n\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\\
&=&\displaystyle\sum_{S_1}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)+\displaystyle\sum_{S_2}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\end{array}

onde S_1=\{0\leq i\leq n: |x-i/n|<\delta\} e S_2=\{0\leq i\leq n: |x-i/n|\geq\delta\}.

\sum_{S_1}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)\leq \sum_{S_1}\varepsilon/2B_i^n(x)\leq \varepsilon/2\sum_{i=1}^nB_i^n(x)=\varepsilon/2
\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{S_2}\left|f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right|B_i^n(x)&\leq& 2M\displaystyle\sum_{S_2}B_i^n(x) \leq 2M\displaystyle\sum_{S_2}\frac{(x-i/n)^2}{\delta^2}B_i^n(x) \\
&\leq&\frac{2M}{\delta^2}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(x-i/n)^2B_i^n(x) \leq \frac{M}{2\delta^2n}<\epsilon/2,\hbox{ se } n>M/\varepsilon\delta^2
\end{array}

E o resultado segue, escolhendo n>M/\varepsilon\delta^2 e P(x):=P_n(x).


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