Teorema de Thévenin

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O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão do ponto em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista deste ponto).

A esta configuração chamamos de Equivalente de Thévenin em homenagem a Léon Charles Thévenin, e é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um circuito equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, onde se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência.

Cálculo do Equivalente de Thévenin[editar | editar código-fonte]

O cálculo do Equivalente de Thévenin baseia-se no Teorema da superposição quando o circuito a ser reduzido é separado do circuito a ser estudado e as análises de circuito aberto e em curto-circuito são aplicadas para se conseguir as relações que permitam a redução desejada.

O Equivalente de Thévenin pode ser construído a partir de duas etapas:

1. Determinar a resistência ou impedância de Thévenin, também chamada de resistência ou impedância equivalente. Esta resistência (ou impedância) é aquela vista do ponto onde se deseja reduzir o circuito, e neste caso, com as fontes de tensão curto-circuitadas e as fontes de corrente abertas.
2. Determinar a tensão de circuito aberto no ponto onde se deseja reduzir o circuito.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

No exemplo a seguir, é possível ver um circuito de corrente contínua sendo transformado pelo teorema de Thévenin no ponto A e B.

Circuito Original.
Etapa 1: Cálculo da Resistência de Thévenin.
Etapa 2: Cálculo da Tensão de Circuito Aberto.
Equivalente de Thévenin.

A resistência de Thévenin pode ser obtida pela resistência equivalente vista do ponto AB, neste caso, com a(s) fonte(s) inoperantes. Na Etapa 1, para o cálculo da resistência de Thévenin a fonte de tensão fica curto-circuitada. Se fosse uma fonte de corrente, a mesma ficaria aberta.


R_\mathrm{AB} = R_1 + \left [  \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right ) ]


= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left [  \left ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right ) ]


= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left({1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right)^{-1} = 2\,\mathrm{k}\Omega

e a tensão de circuito aberto pode ser calculada usando a seguinte abordagem:


V_\mathrm{AB}

= {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}


= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \mathrm{V}


= {1 \over 2} \cdot 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}

Demonstração do Teorema de Thévenin[editar | editar código-fonte]

Suponha um circuito com um número "n" de nós. Se tal for um Circuito linear, pode-se descrevê-lo como: I = Gv tal que



 \begin{bmatrix}
         i_1 \\
         i_2 \\
         \vdots\\
         i_k\\
         \vdots\\
         i_n
         \end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
         G_{11} & \cdots & G_{1l} & \cdots & G_{n1}\\
         \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots\\  
         G_{k1} & \cdots & G_{kl} & \cdots & G_{kn}\\
         \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots\\
         G_{n1} & \cdots & G_{nl} & \cdots & G_{nn}\\
         \end{bmatrix}



\begin{bmatrix}
         v_1\\
         v_2\\
         \vdots\\
         v_k\\
         \vdots\\
         v_n
         \end{bmatrix}


Resolvendo esse sitema para 'v_k' pela Regra de Cramer, temos:

 v_k = {det(G_k) \over det(G)} (1)


Expandindo det(G) pelo Teorema de Laplace na l-ésima coluna:

det(G) = G_{1l}A_{1l} + G_{2l}A_{2l} + \cdots + G_{kl}A_{kl} + \cdots + G_{nl}A_{nl} (2)


Arbitramos um circuito linear qualquer entre os nós "k" e "l". Consideraremos, então, ele como aberto entre esses dois nós para uma análise adequada. Ou seja:  G_{kl} = 0

Usando tal fato na igualdade (2), teremos:

det(G_0) =  G_{1l}A_{1l} + G_{2l}A_{2l} + \cdots + G_{k-1,l}A_{k-1,l} + G_{k+1,l}A_{k+1,l} + \cdots + G_{nl}A_{nl}

det(G) = det(G_0) + G_{kl}A_{kl} (3)


Desenvolvendo a expressão (1):

v_k = {i_1A_{1l} + i_2A_{2l} + \cdots + i_kA_{kl} + \cdots + i_nA_{nl} \over det(G)}

= \frac{i_1A_{1l} + i_2A_{2l} + \cdots + i_kA_{kl} + \cdots + i_nA_{nl}}{det(G_0)}\frac{det(G_0)}{det(G)} (4)

Analisaremos a primeira fração de (4). É notável que tal representa uma solução de um sistema correspondente de um circuito similar ao primeiro, porém com o valor de G_{kl} = 0. Ou seja, o sistema:



 \begin{bmatrix}
         i'_1 \\
         i'_2 \\
         \vdots\\
         i'_k\\
         \vdots\\
         i'_n
         \end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
         G_{11} & \cdots & G_{1l} & \cdots & G_{n1}\\
         \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots\\  
         G_{k1} & \cdots & 0 & \cdots & G_{kn}\\
         \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots\\
         G_{n1} & \cdots & G_{nl} & \cdots & G_{nn}\\
         \end{bmatrix}



\begin{bmatrix}
         v'_1\\
         v'_2\\
         \vdots\\
         v'_k\\
         \vdots\\
         v'_n
         \end{bmatrix}


Apresenta como uma de suas soluções a seguinte: v'_k = \frac{det(G_k)}{det(G_0)} = \frac{i_1A_{1l} + i_2A_{2l} + \cdots + i_kA_{kl} + \cdots + i_nA_{nl}}{det(G_0)} (5)

Substituindo a expressão (5) em (4), resultará em:

v_k = v'_k  \frac{det(G_0)}{det(G)}

Unindo com (3):

v_k = v'_k  \frac{det(G_0)}{det(G_0)+G_{kl}A_{kl}}

Porém, condutância é o inverso da resistência.  G = \frac {1}{R}

Portanto: v_k = v'_k\frac{1}{1+\frac{A_{kl}}{det(G_0)R_{kl}}} = v'_k\frac{R_{kl}}{R_{kl}+\frac{A_{kl}}{{det(G_0)}}}

Simplificaremos essa expressão:

v_kR_{kl}+v_k\frac{A_{kl}}{{det(G_0)}} = v'_kR_{kl}

Dividindo ambos os lados por R_{kl}:

v_k + \frac{v_k}{R_{kl}}\frac{A_{kl}}{det(G_0)} = v'_k

Ao fazer a análise dessa igualdade, nota-se que \frac{v_k}{R_{kl}} = I . Então:


 v_k = v'_k - \frac{v_k}{R_{kl}}\frac{A_{kl}}{det(G_0)} = v'_k - I \frac{A_{kl}}{det(G_0)} (6)

Analisando essa expressão, observa-se que o valor de "v_k" está em função de "v'_k" e de "\frac{A_{kl}}{det(G_0)}". Disso, concluímos que \frac{A_{kl}}{det(G_0)} possui uma característica resistiva. Em outras palavras, conseguimos caracterizar uma tensão qualquer entre dois pontos de um circuito linear com uma fonte de tensão juntamente com uma impedância em série, a qual é o enunciado da Equivalência de Thévenin.

Portanto, das expressões (5) e (6):

v'_k = v_{th} = \frac{det(G_k)}{det(G_0)} e  R_{th} = \frac{A_{kl}}{det(G_0)}

Conversão do Equivalente de Thévenin no Equivalente de Norton[editar | editar código-fonte]

Os teoremas de Thévenin e de Norton são dois teoremas duais aplicáveis a circuitos lineares. O teorema de Norton estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de corrente (igual à corrente do ponto em curto-circuito) em paralelo com uma impedância (igual à impedância do circuito vista desse ponto). A esta configuração chamamos configuração Norton, ou Equivalente de Norton.

Equivalente de Norton.

Decorre destes dois teoremas que uma configuração Thévenin pode ser transformada numa configuração Norton, e vice-versa, desde que Vo = Z Is.

Limitações dos teoremas de Thévenin e Norton[editar | editar código-fonte]

Os teoremas de Thévenin e Norton estão limitados a aplicações em circuitos lineares.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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