Teorema de Weierstrass

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Em matemática, o teorema de Weierstrass afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a,b] em \mathbb{R}\, é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.

Enunciado formal[editar | editar código-fonte]

Sejam a,b ∈  \mathbb{R}\, tais que a ≤ b e seja f uma função contínua de [a,b] em \mathbb{R}\,. Então existem números xm,xM ∈ [a,b] tais que

(\forall x\in[a,b]):f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M).

Em particular, a função f é limitada.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Comecemos por provar que f é limitada. Caso não fosse, haveria, para cada número natural n, algum número xn ∈ [a,b] tal que |f(xn)| ≥ n. A sucessão (xn)n é limitada (cada xn está em [a,b]), pelo que, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, tem alguma subsucessão convergente. Existe então alguma sucessão (yn)n de elementos de [a,b] que converge para algum y ∈ [a,b] tal que

\lim_{n\in\mathbb{N}}|f(y_n)|=+\infty;

em particular, a sucessão (f(yn))n não é limitada.

Por outro lado, f é contínua em y, pelo que existe algum δ > 0 tal que

(\forall x\in[a,b]):|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1\Rightarrow|f(x)|<|f(y)|+1.

Mas, para n suficientemente grande, |yn − y| < δ, pelo que |f(yn)| < |f(y)| + 1; em particular, a sucessão (f(yn))n é limitada.

Chegou-se a uma contradição, que resultou de se ter suposto que f não é limitada. Logo, f é limitada.

Seja s o supremo da imagem de f (existe supremo?). Se s não estivesse na imagem de f, então a função

\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\frac1{s-f(x)}\end{array}

seria contínua mas não seria limitada. Mas já foi visto que isso não é possível. Logo, s = f(xM), para algum xM ∈ [a,b]. Pelo mesmo argumento, existe algum xm ∈ [a,b] tal que f(xm) é o ínfimo da imagem de f.