Teorema de Weierstrass

Em matemática, o teorema de Weierstrass afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a,b] em $\mathbb{R}\,$ é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.

Enunciado formal

Sejam a,b ∈  $\mathbb{R}\,$ tais que a ≤ b e seja f uma função contínua de [a,b] em $\mathbb{R}\,$. Então existem números x_m,x_M ∈ [a,b] tais que

$(\forall x\in[a,b]):f(x_m)\leqslant f(x)\leqslant f(x_M).$

Em particular, a função f é limitada.

Demonstração

Comecemos por provar que f é limitada. Caso não fosse, haveria, para cada número natural n, algum número x_n ∈ [a,b] tal que |f(x_n)| ≥ n. A sucessão (x_n)_n é limitada (cada x_n está em [a,b]), pelo que, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, tem alguma subsucessão convergente. Existe então alguma sucessão (y_n)_n de elementos de [a,b] que converge para algum y ∈ [a,b] tal que

$\lim_{n\in\mathbb{N}}|f(y_n)|=+\infty;$

em particular, a sucessão (f(y_n))_n não é limitada.

Por outro lado, f é contínua em y, pelo que existe algum δ > 0 tal que

$(\forall x\in[a,b]):|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<1\Rightarrow|f(x)|<|f(y)|+1.$

Mas, para n suficientemente grande, |y_n − y| < δ, pelo que |f(y_n)| < |f(y)| + 1; em particular, a sucessão (f(y_n))_n é limitada.

Chegou-se a uma contradição, que resultou de se ter suposto que f não é limitada. Logo, f é limitada.

Seja s o supremo da imagem de f. Se s não estivesse na imagem de f, então a função

$\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\frac1{s-f(x)}\end{array}$

seria contínua mas não seria limitada. Mas já foi visto que isso não é possível. Logo, s = f(x_M), para algum x_M ∈ [a,b]. Pelo mesmo argumento, existe algum x_m ∈ [a,b] tal que f(x_m) é o ínfimo da imagem de f.