Teorema de Wilson

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Em matemática, o teorema de Wilson diz que p é um número primo se e somente se:

(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)

Se P é primo então

P divide [(P-1)! + 1]

Todas as n-ésimas diferenças sucessivas da sequência 1^n, 2^n, 3^n, 4^n...

são constantes e iguais a n! (n fatorial)

Resolvendo algebricamente:

2*1 = 1*2^2 - 2*1^2 + 1*0^2

3*2*1 = 1*3^3 - 3*2^3 + 3*1^3 - 1*0^3

4*3*2*1 = 1*4^4 - 4*3^4 + 6*2^4 - 4*1^4 + 1*0^4

5*4*3*2*1 = 1*5^5 - 5*4^5 + 10*3^5 - 10*2^5 + 5*1^5 - 1*0^5

6*5*4*3*2*1 = 1*6^6 - 6*5^6 + 15*4^6 - 20*3^6 + 15*2^6 - 6*1^6 + 1*0^6

Exemplos[editar | editar código-fonte]

P=3[editar | editar código-fonte]

2*1 = 1*(2^2-1^2) - 1^2

2*1 + 1^2 = 1*(2^2 - 1^2)

pelo pequeno teorema do Fermat 3 divide (2*1 + 1^2)

P=5[editar | editar código-fonte]

4*3*2*1 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4) - 1^4

4*3*2*1 + 1^4 = 1*(4^4 - 3^4) - 3*(3^4 - 2^4) + 3*(2^4 - 1^4)

pelo pequeno teorema do Fermat 5 divide (4*3*2*1 + 1^4)

P=7[editar | editar código-fonte]

6*5*4*3*2*1 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6)-1^6

6*5*4*3*2*1 +1^6 = 1*(6^6-5^6)-5*(5^6-4^6)+10*(4^6-3^6)-10(3^6-2^6)+5(2^6-1^6)

pelo pequeno teorema do Fermat 7 divide (6*5*4*3*2*1 + 1^6)

O interessante é que existe uma crença de que o Teorema de Wilson percebe os pseudo-primos absolutos.

O teorema de Wilson é uma simples variação do Pequeno Teorema do Pierre de Fermat.