Teorema de Stewart

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Em geometria, o teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um triângulo e o tamanho de uma ceviana do triângulo. Este nome é em honra do matemático escocês Matthew Stewart que publicou o teorema em 1746.1

Teorema[editar | editar código-fonte]

Sendo a</math2>, <math2>b, e c sendo os tamanhos dos lados do triângulo. Sendo d a ceviana do lado a. Se a ceviana divide o lado a em dois segmentos de tamanho m e n, então o teorema de stewart diz que:

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,
Diagram of Stewart's theorem

Prova[editar | editar código-fonte]

Diagram of Stewart's theorem

O teorema pode ser provado com a aplicação da lei dos cossenos:2

Se θ é o ângulo entre m e d, θ' o ângulo entre n e d. Então θ′ que é o suplemento de θ e cos θ′ = −cos θ. A lei dos cossenos entre θ e θ′ tras:


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

Multiplique primeiro a equação por n, e a segunda por m, e elimine o cos θ, assim obtemos:


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2), \\
\end{align}

que é a equação que queriamos demonstrar.

O teorema tambêm pode ser provado pelo teorema de Pitágoras. 3

Referências

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. Follows Hutton & Gregory or, more closely, PlanetMath.
  3. This is a overview of the proof in Russell.