Teorema do valor intermediário

Teorema do Valor Intermédio

O Teorema do Valor Intermédio, garante que, se uma função real f, definida num intervalo [a,b], é continua, então qualquer ponto d tal que f(a) ≤ d ≤ f(b) ou f(a) ≥ d ≥ f(b) é da forma f(c), para algum ponto c do intervalo [a,b].

Teorema de Bolzano

O Teorema de Bolzano é um caso particular deste teorema quando $d=0$. Ou seja se numa função contínua considerando dois pontos a e b e $f(a)f(b)<0$, então existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]:f(c)=0$. Ou seja, a função tem pelo menos uma raíz entre a e b.

Demonstrações

Nas demonstrações que se seguem vai-se supor que se está no caso em que f(a) ≤ d ≤ f(b); o outro caso é análogo.

Primeira demonstração

Considerem-se os números a₁ e b₁ assim definidos:

• se f((a + b)/2) ≤ d, então a₁ = (a + b)/2 e b₁ = b;
• caso contrário, a₁ = a e b₁ = (a + b)/2.

Então a ≤ a₁ ≤ b₁ ≤ b, f(a₁) ≤ d ≤ f(b₁) e b₁ − a₁ = (b − a)/2.

Em seguida, definem-se pontos a₂ e b₂ a partir de a₁ e b₁ pelo mesmo processo e assim sucessivamente. Se se definir a₀ = a e b₀ = b, fica-se com uma sucessão ([a_n,b_n])_n ≥ 0 de intervalos que é decrescente, ou seja

$[a_0,b_0]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots$

Pelo teorema do encaixe de intervalos, existe algum c que está em todos os intervalos. Por outro lado, como o comprimento de cada intervalo é metade do anterior, o comprimento dos intervalos tende para 0. Resulta deste facto e da definição de c que

$c=\lim_{n\in\mathbb{N}}a_n=\lim_{n\in\mathbb{N}}b_n.$

Mas então, como f é contínua em c e como

$(\forall n\in\mathbb{N}):f(a_n)\leqslant d\leqslant f(b_n),$

tem-se

$f(c)=\lim_{n\in\mathbb{N}}f(a_n)\leqslant d\mbox{ e }f(c)=\lim_{n\in\mathbb{N}}f(b_n)\geqslant d.$

Logo, f(c) = d.

Segunda demonstração

Seja

$S=\left\{x\in[a,b]\,\vert\,(\forall y\in[a,x]):f(y)\leqslant d\right\}$

Então S é majorado (nenhum elemento de S é maior do que b) e não é vazio (pois contém a). Logo, tem um supremo c. Então f(c) ≤ d, pois:

• se c = a, então tem-se f(c) ≤ d por hipótese;
• caso contrário, como f é contínua em c e f(x) ≤ d quando a ≤ x < c, f(c) ≤ d.

Se se tivesse f(c) < d, haveria, pela continuidade de f em c, pontos x tais que c < x ≤ b para os quais se teria f(y) < d em todo o intervalo [a,x], o que contradiz o facto de c ser o supremo de S. Logo, f(c) = d.

Corolários

• Uma função real de variável real contínua aplica intervalos em intervalos.
• Se f é uma função contínua de [a,b] em R e se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f(c) = 0.

Referências gerais

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981

esse teorema está incompleto