Teorema do confronto

O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)

Sejam $f(x)\,$, $g(x)\,$ e $h(x)\,$ funções reais definidas num domínio $D\subseteq\mathbb{R}\,$ e seja $a\,$ um ponto deste domínio, tais que:

• $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L\,$
• $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\,$

Então existe o limite:

• $\lim_{x\to a}g(x)=L\,$

Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)

Sejam $a_n\,$, $b_n\,$ e $c_n\,$ sucessões de números reais tais que:

• $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L\,$
• $a_n\leq b_n\leq c_n\,$

Então, $b_n\,$ é uma sucessão convergente e ainda:

• $\lim_{n\to\infty}b_n=L\,$

?

Exemplo (com $x\in\mathbb{R}$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere os gráficos à direita das funções $\frac{1}{x^2}$ (azul escuro), $\frac{\sin x}{x^2}$ (cinzento tracejado) e $-\frac{1}{x^2}$ (azul ciano).

Quando x tende para infinito (positivo) a função $\frac{\sin x}{x^2}$ fica "enquadrada" pelas outras duas funções.

Este comportamento traduz-se analiticamente por:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0\,$

E como:

$-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}\,$,

Conclui-se que:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\,$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, $x\in\mathbb{N}$).