Teorema do confronto

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O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse essa função se encontre limitada (inferior e superiormente) por duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.

Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)[editar | editar código-fonte]

Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais definidas num domínio D\subseteq\mathbb{R} e seja a um ponto deste domínio, tais que:

  • \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L
  • f(x)\leq g(x)\leq h(x)

Então, resulta destas condições que:

  • \lim_{x\to a}g(x)=L


Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)[editar | editar código-fonte]

Sejam a_n, b_n e c_n sucessões de números reais tais que:

  • \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L
  • a_n\leq b_n\leq c_n

Então, resulta destas condições que:

  • \lim_{n\to\infty}b_n=L

Para L finito, a sucessão diz-se convergente (para L).

Exemplo (com x\in\mathbb{R})[editar | editar código-fonte]

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: f(x)=\frac{1}{x^2} (azul escuro), g(x)=\frac{\sin x}{x^2} (cinzento tracejado) e h(x)=-\frac{1}{x^2} (azul ciano).

Repare que a função g(x) está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

  • f(x)\leq g(x)\leq h(x) \Leftrightarrow\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}

e que

  • \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0,

Conclui-se que o comportamento de g(x) à medida que x\to +\infty traduz-se analiticamente por:

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, x\in\mathbb{N}).