Teorema do encaixe de intervalos

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Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum.

Enunciado formal[editar | editar código-fonte]

Para cada n ∈ N, seja [an,bn] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([an,bn])n ∈ N é decrescente, ou seja

[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset\cdots

Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [an,bn], o que é o mesmo que dizer que

\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]\neq\emptyset.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Como a sucessão (an)n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os bn), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (bn)n ∈ N converge para algum b. Como qualquer an é menor ou igual que qualquer bn, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então

x\geqslant a\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\geqslant a_n

e

x\leqslant b\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\leqslant b_n,

o que é o mesmo que dizer que:

\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

  • Seja {[ai,bi] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\emptyset.
  • Uma sucessão decrescente (Kn)n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rn tem intersecção não vazia.