Teorema do encaixe de intervalos

Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum.

Enunciado formal

Para cada n ∈ N, seja [a_n,b_n] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([a_n,b_n])_n ∈ N é decrescente, ou seja

$[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset[a_3,b_3]\supset\cdots$

Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [a_n,b_n], o que é o mesmo que dizer que

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]\neq\emptyset.$

Demonstração

Como a sucessão (a_n)_n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os b_n), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (b_n)_n ∈ N converge para algum b. Como qualquer a_n é menor ou igual que qualquer b_n, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então

$x\geqslant a\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\geqslant a_n$

e

$x\leqslant b\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\leqslant b_n,$

o que é o mesmo que dizer que:

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.$

Generalizações

• Seja {[a_i,b_i] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então

$\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\emptyset.$

• Uma sucessão decrescente (K_n)_n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rⁿ tem intersecção não vazia.