Teorema do número primo

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Em matemática, sobretudo na teoria dos números, o teorema do número primo é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses, Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin, através do estudo da função zeta de Riemann. Uma demonstração elementar, sem apelo à teoria analítica dos números, foi dada posteriormente por Atle Selberg e Paul Erdös.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \Pi(n)\, a função de contagem de números primos, que retorna o número de números primos entre 1 e n. Então vale o limite:

\lim_{n\to\infty}\frac{\Pi(n)}{n/ \ln n}=1\,

Não é difícil mostrar que este limite é equivalente a este outro:

\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{n \ln n}=1\,

onde p_n\, é o enésimo número primo.

Tabela de π(x), x / ln x e Li(x)[editar | editar código-fonte]

A tabela seguinte compara os valores de π(x) com as aproximações x / ln x e Li(x). A última coluna, x / π(x), é a distância média entre os primos abaixo de x.

x π(x)[1] π(x) − x / ln x[2] π(x) / (x / ln x) Li(x) − π(x)[3] x / π(x)
10 4 −0,3 0,921 2,2 2,500
10² 25 3,3 1,151 5,1 4,000
10³ 168 23 1,161 10 5,952
104 1.229 143 1,132 17 8,137
105 9.592 906 1,104 38 10,425
106 78.498 6.116 1,084 130 12,740
107 664.579 44.158 1,071 339 15,047
108 5.761.455 332.774 1,061 754 17,357
109 50.847.534 2.592.592 1,054 1.701 19,667
1010 455.052.511 20.758.029 1,048 3.104 21,975
1011 4.118.054.813 169.923.159 1,043 11.588 24,283
1012 37.607.912.018 1.416.705.193 1,039 38.263 26,590
1013 346.065.536.839 11.992.858.452 1,034 108.971 28,896
1014 3.204.941.750.802 102.838.308.636 1,033 314.890 31,202
1015 29.844.570.422.669 891.604.962.452 1,031 1.052.619 33,507
1016 279.238.341.033.925 7.804.289.844.393 1,029 3.214.632 35,812
1017 2.623.557.157.654.233 68.883.734.693.281 1,027 7.956.589 38,116
1018 24.739.954.287.740.860 612.483.070.893.536 1,025 21.949.555 40,420
1019 234.057.667.276.344.607 5.481.624.169.369.960 1,024 99.877.775 42,725
1020 2.220.819.602.560.918.840 49.347.193.044.659.701 1,023 222.744.644 45,028
1021 21.127.269.486.018.731.928 446.579.871.578.168.707 1,022 597.394.254 47,332
1022 201.467.286.689.315.906.290 4.060.704.006.019.620.994 1,021 1.932.355.208 49,636
1023 1.925.320.391.606.818.006.727 37.083.513.766.592.669.113 1,020 7.236.148.412 51,939

Referências