Teorema do número primo

Em matemática, sobretudo na teoria dos números, o teorema do número primo é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses, Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin, através do estudo da função zeta de Riemann. Uma demonstração elementar, sem apelo à teoria analítica dos números, foi dada posteriormente por Atle Selberg e Paul Erdös.

Enunciado

Seja $\Pi(n)\,$ a função de contagem de números primos, que retorna o número de números primos entre 1 e n. Então vale o limite:

$\lim_{n\to\infty}\frac{\Pi(n)}{n/ \ln n}=1\,$

Não é difícil mostrar que este limite é equivalente a este outro:

$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{n \ln n}=1\,$

onde $p_n\,$ é o enésimo número primo.

Tabela de π(x), x / ln x e Li(x)

A tabela seguinte compara os valores de π(x) com as aproximações x / ln x e Li(x). A última coluna, x / π(x), é a distância média entre os primos abaixo de x.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	Li(x) − π(x)	x / π(x)
10	4	−0,3	0,921	2,2	2,500
10²	25	3,3	1,151	5,1	4,000
10³	168	23	1,161	10	5,952
104	1.229	143	1,132	17	8,137
105	9.592	906	1,104	38	10,425
106	78.498	6.116	1,084	130	12,740
107	664.579	44.158	1,071	339	15,047
108	5.761.455	332.774	1,061	754	17,357
109	50.847.534	2.592.592	1,054	1.701	19,667
1010	455.052.511	20.758.029	1,048	3.104	21,975
1011	4.118.054.813	169.923.159	1,043	11.588	24,283
1012	37.607.912.018	1.416.705.193	1,039	38.263	26,590
1013	346.065.536.839	11.992.858.452	1,034	108.971	28,896
1014	3.204.941.750.802	102.838.308.636	1,033	314.890	31,202
1015	29.844.570.422.669	891.604.962.452	1,031	1.052.619	33,507
1016	279.238.341.033.925	7.804.289.844.393	1,029	3.214.632	35,812
1017	2.623.557.157.654.233	68.883.734.693.281	1,027	7.956.589	38,116
1018	24.739.954.287.740.860	612.483.070.893.536	1,025	21.949.555	40,420
1019	234.057.667.276.344.607	5.481.624.169.369.960	1,024	99.877.775	42,725
1020	2.220.819.602.560.918.840	49.347.193.044.659.701	1,023	222.744.644	45,028
1021	21.127.269.486.018.731.928	446.579.871.578.168.707	1,022	597.394.254	47,332
1022	201.467.286.689.315.906.290	4.060.704.006.019.620.994	1,021	1.932.355.208	49,636
1023	1.925.320.391.606.818.006.727	37.083.513.766.592.669.113	1,020	7.236.148.412	51,939