Teorema do ponto fixo de Kakutani

Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.

Definição formal

Ver também: função multivalorada

Ver também: conjunto compacto

Ver também: conjunto convexo

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função $f: A \rightsquigarrow B\,$ que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função $F: A \to P(B) - \varnothing\,$, ou seja, uma função que associa a cada ponto $a \in A\,$ um subconjunto não vazio $F(a) \subseteq B\,$.

Uma multiaplicação $f: A \rightsquigarrow B\,$ cujo contradomínio B seja um subconjunto de $\mathbb{R}^n\,$ é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto $a \in A\,$, F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc). O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de $A \times B$ formado pelos pares $(a, b), a \in A, b \in F(a)\,$ (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:

• Seja $K \subset \mathbb{R}^n\,$ um conjunto compacto, convexo e não-vazio, e seja $f: K \rightsquigarrow K\,$ uma correspondência (multiaplicação) convexa cujo gráfico seja fechado. Então f tem um ponto fixo, ou seja, existe $x \in A\,$ tal que $x \in F(x)\,$.

Uma forma equivalente deste teorema é:

• Seja A não-vazio, compacto e convexo, contido no conjunto $\mathbb{R}^N$ e seja $f: A \rightsquigarrow A\,$ uma correspondência hemi contínua superior e convexa, então f tem um ponto fixo, ou seja, existe um $x \in A$ tal que $x \in F \left ( x \right )$

Contra-exemplo

Uma função sem pontos fixos

A exigência de que $f \left ( x \right )$ seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:

$f(x) = \begin{cases} 3/4 & 0 \le x < 0.5 \\ \{ 3/4, 1/4 \} & x = 0.5 \\ 1/4 & 0.5 < x \le 1 \\ \end{cases}$

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.