Teorema do ponto fixo de Kakutani

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Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.[1]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função f: A \rightsquigarrow B que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função F: A \to P(B) - \varnothing, ou seja, uma função que associa a cada ponto a \in A um subconjunto não vazio F(a) \subseteq B.[2]

Uma multiaplicação f: A \rightsquigarrow B cujo contradomínio B seja um subconjunto de \mathbb{R}^n é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto a \in A, F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc).[2] O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de A \times B formado pelos pares (a, b), a \in A, b \in F(a) (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:[3]

  • Seja K \subset \mathbb{R}^n um conjunto compacto, convexo e não-vazio, e seja f: K \rightsquigarrow K uma correspondência (multiaplicação) convexa cujo gráfico seja fechado. Então f tem um ponto fixo, ou seja, existe x \in A tal que x \in F(x).

Uma forma equivalente deste teorema é:[4]

Contra-exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma função sem pontos fixos

A exigência de que f \left ( x \right ) seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:


f(x) =
\begin{cases}
3/4           & 0 \le x < 0.5 \\
\{ 3/4, 1/4 \}  & x = 0.5 \\
1/4           & 0.5 < x \le 1 \\
\end{cases}

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.


Referências

  1. Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 5. Dimostrazione del teorema di esistenza per equilibri di Nash [em linha]
  2. a b Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 1. Multiaplicazioni e "best reply" [em linha]
  3. Fioravante Patrone, Nash, Berge e Kakutani, 4. Teorema di Kakutani e teorema di Berge [em linha]
  4. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D., e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematical Appendix "M.I Fixed Point Theorems", p. 953.