Teorema do ponto fixo de Schauder

O Teorema do ponto fixo de Schauder é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer. Enquanto o teorema de Brouwer se aplica a espaços euclidianos, o teorema de Schauder vale em espaços de Banach.

Enunciado

Seja $X\,$ um espaço de Banach, $K\,$ um compacto e convexo e $A:K\to K\,$ uma função contínua. Então $A\,$ admite um ponto fixo $x\in K\,$, ou seja:

$Ax=x\,$

Observações

• Quando $X\,$ tem dimensão finita, então este teorema é idêntico ao teorema do ponto fixo de Brouwer, pois, então, um conjunto é compacto se e somente se for limitado e fechado.

Referências

• Dugundji, James. Topology. 1^aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965
• Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3^aedição. Providence, RI: AMS, 2002