Teorema do trabalho-energia

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O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho mecânico, W, realizado sobre um corpo de massa, M, por uma força é igual a variação da energia cinética do corpo:

W = \Delta K

onde, \Delta K é a diferença entre a energia cinética final, K_f, e a energia cinética inicial, K_i, do corpo, \Delta K = K_f - K_i.

Este teorema também é chamado de Teorema da Energia Cinética (TEC).

Demonstração: Caso Particular, Força Constante[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais belas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleração e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, t_i, é zero, t_i=0, e que o instante final, é t_f=t.

v \equiv \frac{dx}{dt}

onde, x=x(t) é a posição do corpo em função do tempo, t.

a \equiv \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},

temos que

dv = a \,dt,

com a=constante. Integrando ambos os lados da equação:

\int dv = \int a\,dt

v_f - v_i = a\, (t-0)

v_f - v_i = a\, t

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

t = \frac{v_f - v_i}{a}

  • Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

a = \frac{d^2x}{dt^2} :

x_f = x_i + v_i t + \frac{1}{2} a t^2

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 4 \,\frac{1}{2}\, a (x_i-x_f)}}{2\, \frac{1}{2}\, a}

t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}

  • Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

\frac{v_f - v_i}{a} = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}

v_f - v_i = -v_i \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}

v_f = \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

v_f^2 = v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)

v_f^2 - v_i^2 =  2\, a (x_f-x_i)

\frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, (x_f-x_i)

\frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, \Delta x

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, m, do corpo:

\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = m\, a\, \Delta x

  • Pela segunda lei de Newton, F=m\,a, donde

\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = F \, \Delta x

realizado pela força constante, F, sobre a massa m para deslocá-la por \Delta x:

W=F\,\Delta x

logo,

\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = W

K, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

K \equiv \frac{1}{2} m \, v^2

temos que

K_f - K_i = W

Fazendo \Delta K \equiv K_f - K_i, temos finalmente

W = \Delta K

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

Demonstração: Caso Geral, Força Variável[editar | editar código-fonte]

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força F que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, \vec{F}=\vec{F}(t). Neste caso, partimos da definição de trabalho,

W \equiv \int\ \vec{F}\, d\vec{r}

onde, \vec{r}=\vec{r}(t) é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

W = \int m\, \vec{a}\, d\vec{r}

e a definição de aceleração, \vec{a},

W = \int m\, \frac{d\vec{v}}{dt}\, d\vec{r} = \int m\,  \frac{d\vec{r}}{dt}\, d\vec{v}

W = \int m\,  \vec{v} d\vec{v}

cuja solução é

W = \frac{1}{2}m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2

Introduzindo a definição de energia cinética,

K \equiv \frac{1}{2}m v^2

W = \Delta K

conforme o teorema.