Teorema do valor intermediário

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Teorema do Valor Intermédio

O teorema do valor intermédio garante que, se uma função real f definida num intervalo [a,b] é continua, então qualquer ponto d tal que f(a) ≤ d ≤ f(b) ou f(a) ≥ d ≥ f(b) é da forma f(c), para algum ponto c do intervalo [a,b].[1]

Teorema de Bolzano[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Bolzano é um caso particular deste teorema quando d=0. Ou seja se numa função contínua considerando dois pontos a e b e f(a)f(b)<0, então existe pelo menos um ponto c\in]a,b[:f(c)=0. Ou seja, a função tem pelo menos uma raiz entre a e b.[1]

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Nas demonstrações que se seguem vai-se supor que se está no caso em que f(a) ≤ d ≤ f(b); o outro caso é análogo.[1]

Primeira demonstração[editar | editar código-fonte]

Considerem-se os números a1 e b1 assim definidos:

  • se f((a + b)/2) ≤ d, então a1 = (a + b)/2 e b1 = b;
  • caso contrário, a1 = a e b1 = (a + b)/2.

Então a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b, f(a1) ≤ d ≤ f(b1) e b1 − a1 = (b − a)/2.

Em seguida, definem-se pontos a2 e b2 a partir de a1 e b1 pelo mesmo processo e assim sucessivamente. Se se definir a0 = a e b0 = b, fica-se com uma sucessão ([an,bn])n ≥ 0 de intervalos que é decrescente, ou seja

[a_0,b_0]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots

Pelo teorema do encaixe de intervalos, existe algum c que está em todos os intervalos. Por outro lado, como o comprimento de cada intervalo é metade do anterior, o comprimento dos intervalos tende para 0. Resulta deste facto e da definição de c que

c=\lim_{n\in\mathbb{N}}a_n=\lim_{n\in\mathbb{N}}b_n.

Mas então, como f é contínua em c e como

(\forall n\in\mathbb{N}):f(a_n)\leqslant d\leqslant f(b_n),

tem-se

f(c)=\lim_{n\in\mathbb{N}}f(a_n)\leqslant d\mbox{ e }f(c)=\lim_{n\in\mathbb{N}}f(b_n)\geqslant d.

Logo, f(c) = d.

Segunda demonstração[editar | editar código-fonte]

Seja

S=\left\{x\in[a,b]\,\vert\,(\forall y\in[a,x]):f(y)\leqslant d\right\}

Então S é majorado (nenhum elemento de S é maior do que b) e não é vazio (pois contém a). Logo, tem um supremo c. Então f(c) ≤ d, pois:

  • se c = a, então tem-se f(c) ≤ d por hipótese;
  • caso contrário, como f é contínua em c e f(x) ≤ d quando a ≤ x < c, f(c) ≤ d.

Se se tivesse f(c) < d, haveria, pela continuidade de f em c, pontos x tais que c < x ≤ b para os quais se teria f(y) < d em todo o intervalo [a,x], o que contradiz o facto de c ser o supremo de S. Logo, f(c) = d.

Corolários[editar | editar código-fonte]

  • Uma função real de variável real contínua aplica intervalos em intervalos.
  • Se f é uma função contínua de [a,b] em R e se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f(c) = 0.[1]
  • Teorema dos pontos antipodais: Em qualquer círculo máximo em torno da Terra sempre existem pontos antipodais com mesma temperatura, pressão ou elevação (ou qualquer quantidade escalar que varie continuamente).[2]
Demonstração
Chama de f a função contínua definida no círculo em questão. Claramente, f(0)=f(2 \pi). Define g(t)=f(t)-f(t+\pi). Nota que a função g fornece a diferença da função f entre dois pontos opostos no círculo, ou seja, pontos antipodais. Se g é constante e igual a zero a afirmação fica estabelecida. Senão, pega um ponto a tal que g(a) > 0. Agora, observa que g(a)=-g(a+\pi). Pelo Teorema do valor intermediário, existe c \in [a,a+\pi] tal que g(c)=0. Portanto, f(c)=f(c+\pi). cqd

Referências

  1. a b c d Ávila, Geraldo. Introdução à análise matemática. São Paulo: [s.n.], 1999. ISBN 8521201680.
  2. Brannan, David. A First Course in Mathematical Analysis (em ). [S.l.]: Cambridge University Press, 2006. p. 145-146. ISBN 0521864399.

Referências gerais[editar | editar código-fonte]

  • Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
  • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981