Teorema dos eixos perpendiculares

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Em física, o teorema dos eixos perpendiculares (ou teorema da figura plana) pode ser usado para determinar o momento de inércia de um objeto rígido que se situa inteiramente num plano, sobre um eixo perpendicular ao plano, tendo em conta os momentos de inércia do objeto sobre dois eixos perpendiculares situados no plano. Os eixos devem todos passar por um único ponto no plano.

Definidos os eixos perpendiculares X, Y, e Z (os quais se encontram na origem O) então o corpo situa-se no plano XY, e o eixo Z é perpendicular ao plano do corpo. Estabelecendo-se que[1]

  • IX ser o momento de inércia sobre o eixo X;
  • IY ser o momento de inércia sobre o eixo Y; e
  • IZ ser o momento de inércia sobre o eixo Z.

O teorema dos eixos perpendiculares estabelece que

\ I_Z = I_X + I_Y

Esta regra pode ser aplicada com o teorema dos eixos paralelos e a regra do estiramento para encontrar o momento de inércia de uma variedade de formas.

Prova[editar | editar código-fonte]

Considere p como uma lâmina plana fina e uniforme. Considere m_i sendo um elemento de massa com distância perpendicular r_i de um eixo OZ perpendicular ao plano e passando através de um ponto O no plano.

Considere OX e OY sendo dois eixos perpendiculares sobre o plano. Considere a_i sendo a distância perpendicular de m_i de OX e b_i sendo a distância perpendicular de m_i a OY, ambas no plano. Sendo

I_x = \sum {m_i {a_i}^2}

o momento de inércia de p sobre OX e

I_y = \sum {m_i {b_i}^2}

sendo o o momento de inércia de p sobre OY.

O momento de inércia de p sobre OZ é dado por

\begin{align}
I_z & = \sum {m_i {r_i}^2} \\
& = \sum {m_i \left( {a_i}^2 + {b_i}^2 \right)} \qquad \text{pelo teorema de Pitagoras} \\
& = \sum {m_i {a_i}^2} + \sum {m_i {b_i}^2} \\
& = I_x + I_y
\end{align}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Paul A. Tipler. Physics. [S.l.]: Worth Publishers Inc., 1976. ISBN 0-87901-041-X