Teoria clássica de campos

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A teoria clássica de campos é uma teoria física que descreve o estudo de como um ou mais campos físicos interagem com a matéria. A palavra "clássica" é usada em contraste com as teorias de campo que incorporam a mecânica quântica (teoria quântica de campos).

Um campo físico pode ser pensado como a atribuição de uma quantidade física em todos os pontos do espaço e do tempo. Por exemplo, numa previsão do tempo, a velocidade do vento durante o dia em um país é descrita através da atribuição de um vetor para cada ponto no espaço. Cada vetor representa a direção do movimento do ar naquele momento. À medida que o dia passa, as direções dos vetores mudam à medida que a direção do vento muda. Do ponto de vista matemático, campos clássicos são descritos por um conjunto de vetores (teoria clássica de campos covariante). A expressão "teoria clássica de campos" é comumente reservada para descrever as teorias físicas sobre eletromagnetismo e gravitação, duas das forças fundamentais da natureza.

A descrição de campos físicos começou antes do advento da teoria da relatividade e em seguida foi revista à luz desta teoria. Conseqüentemente, as teorias clássicas de campos geralmente são classificadas como não-relativista e relativista.

Atualmente, seu desenvolvimento se associa a áreas da matemática como teoria de grupos, álgebras e representações, e até mesmo de topologia. É uma área de interesse para os pesquisadores que trabalham com sistemas não lineares, sistemas exatamente integráveis e sólitons.

Teorias de campos não-relativistas[editar | editar código-fonte]

Alguns dos campos físicos mais simples são os de força vetorial. Historicamente, os campos foram levados a sério pela primeira vez com as linhas de força de Faraday, ao descrever o campo elétrico. O campo gravitacional foi descrito então da mesma forma.

Gravitação newtoniana[editar | editar código-fonte]

Uma teoria clássica de campos sobre a gravidade é a gravitação newtoniana, que descreve a força gravitacional como uma interação mútua entre duas massas.

Em um campo gravitacional, se uma partícula de prova de massa gravitacional m experimenta uma força F, então a força do campo gravitacional g é definida por "g = F / m", onde é necessário que a massa de prova m seja pequena o suficiente para que sua presença efetivamente não perturbe o campo gravitacional. A lei da gravitação de Newton diz que duas massas separadas por uma distância r experimenta uma força

\vec{F}=-\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}

onde \hat{r} é um vetor unitário que aponta para um dos objetos. Usando a segunda lei de Newton (para massa inercial constante), F = ma leva a uma definição da intensidade do campo gravitacional devido a uma massa m:

\vec{g}=-G\frac{m}{r^2}\hat{r}.

A observação experimental de que as massas inercial e gravitacional são iguais (princípio da equivalência) leva à identificação da intensidade do campo gravitacional como idêntico à aceleração experimentada por uma partícula. Este é o ponto de partida do [[princípio [equivalência]], que leva a relatividade geral.

Eletrostática[editar | editar código-fonte]

Uma partículas de teste carregada, de carga q, experimenta uma força F proveniente unicamente em sua carga. Podemos igualmente descrever o campo elétrico E de modo que F = qE. Usando isto e o conteúdo da lei de Coulomb, definimos o campo elétrico devido a uma única partícula carregada como

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}.

Magnetismo[editar | editar código-fonte]

Hidrodinâmica[editar | editar código-fonte]

Teoria de campos relativista[editar | editar código-fonte]

Formulações modernas para teorias clássicas de campos geralmente requerem a covariância de Lorentz, pois isto hoje é reconhecido como um aspecto fundamental da natureza. Uma teoria de campos tende a ser expressa matematicamente com Lagrangianas. Esta é uma função que, quando submetida a um princípio de ação, dá origem às equações de campo e uma lei de conservação para a teoria.

Usamos um sistema de unidades onde c = 1.

Dinâmica lagrangiana[editar | editar código-fonte]

Dado um campo tensorial \phi, um escalar chamado de densidade Lagrangiana \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x) pode ser construído a partir de \phi e suas derivadas.

A partir desta densidade, o funcional ação pode ser construído através da integração ao longo do espaço-tempo:

\mathcal{S} [\phi] = \int{\mathcal{L} [\phi (x)]\, \mathrm{d}^4x}.

Em seguida, através da aplicação do Princípio da mínima ação, as equações de Euler-Lagrange são obtidas:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu  \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=0.

Campos Relativísticos[editar | editar código-fonte]

Duas das teorias clássicas de campos covariante de Lorentz mais conhecidas são agora descritas.

Eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

Historicamente, as primeiras teorias (clássicas) de campos foram as que descrevem os campos elétrico e magnético (separadamente). Depois de inúmeras experiências, verificou-se que esses dois campos estão relacionados, ou, na verdade, dois aspectos do mesmo campo: o campo eletromagnético. A teoria eletromagnética de Maxwell descreve a interação da matéria carregada com o campo eletromagnético. A primeira formulação dessa teoria de campos utilizou campos de vetores para descrever os campos elétrico e magnético. Com o advento da relatividade especial, uma formulação melhorada (e mais consistente com a mecânica) utilizando campos tensoriais foi obtida. Em vez de usar dois campos de vetores que descrevem os campos elétrico e magnético, é usado um campo tensorial que representa esses dois campos.

Temos o potencial eletromagnético, A_a=\left(-\phi, \vec{A} \right), e a quadricorrente j_a=\left(-\rho, \vec{j}\right). O campo eletromagnético em qualquer ponto do espaço-tempo é descrito pelo tensor do campo eletromagnético anti-simétrico de ordem 2

F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.

A Lagrangiana[editar | editar código-fonte]

Para obter a dinâmica para este campo, tentamos construir um escalar a partir do campo. No vácuo, temos \mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab}. Podemos usar a teoria de campos de calibre para obter o termo de interação, e isso nos fornece

\mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab} + j^aA_a.

As Equações[editar | editar código-fonte]

Isto juntamente com as equações de Euler-Lagrange fornece o resultado desejado, já que as equações de Euler-Lagrange dizem que

\partial_b\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_b A_a\right)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a}.

É fácil ver que \partial\mathcal{L}/\partial A_a = \mu_0 j^a. O lado esquerdo é mais complicado. Tomando cuidado com os fatores de F^{ab}, no entanto, o cálculo fornece \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_b A_a) = F^{ab}. Juntas, as equações de movimento são então

\partial_b F^{ab}=\mu_0j^a.

Isto nos fornece uma equação vetorial, que são as equações de Maxwell no vácuo. As outras duas são obtidas do fato de que F é o 4-rotacional de A:

6F_{[ab,c]} \, = F_{ab,c} + F_{ca,b} + F_{bc,a} = 0.

onde a vírgula indica derivada parcial.

Gravitação[editar | editar código-fonte]

Após a gravitação de Newton ser considerada inconsistente com a relatividade especial, Albert Einstein formulou uma nova teoria da gravitação chamada de relatividade geral. Esta trata a gravidade como um fenômeno geométrico ("espaço-tempo curvo"), causado pela matéria e representa o campo gravitacional matematicamente por um campo tensorial chamado tensor métrico. As equações de campo de Einstein descrevem como tal curvatura é produzida. As equações de campo podem ser diferenciadas usando-se a ação de Einstein-Hilbert. Variando-se a Lagrangiana

\mathcal{L} = \, R \sqrt{-g},

onde R \, =R_{ab}g^{ab} é o tensor de Ricci escrito em termos do tensor de Ricci \, R_{ab} e do tensor métrico \, g_{ab}, que levam às equações de campo no vácuo,

G_{ab}\, =0,

onde G_{ab} \, =R_{ab}-\frac{R}{2}g_{ab} é o tensor de Einstein.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]