Teoria das perturbações

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Na matemática, a teoria das perturbações é um conjunto de técnicas que tem como objetivo encontrar a solução aproximada de uma problema cuja solução exata é desconhecida comparando-o com outro problema cuja solução é conhecida e que em algum sentido está "próximo" do problema original. A teoria das perturbações é aplicada para resolver diversos problemas como equações algébricas, equações diferenciais e problemas de autovalores.

Aplicação a uma equação do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Considere a equação do segundo grau:

x^2-\varepsilon x - 1 =0\,

Quando \varepsilon =0\,, esta equação possui duas raízes, x=1\, e x=-1\,. Quando \varepsilon \neq 0\,, suas raízes podem ser obtidas exatamente pela fórmula de Bhaskara:


\begin{array}{rcl}
x_1&=& \frac{1}{2}\left(\varepsilon + \sqrt{4+\varepsilon^2}\right)\\
x_2&=& \frac{1}{2}\left(\varepsilon - \sqrt{4+\varepsilon^2}\right)
\end{array}
\,

O termo com o radical pode ser expandido em série de Taylor:

\frac{1}{2}\sqrt{4+\varepsilon^2}=\sqrt{1+\left(\varepsilon/2\right)^2}=1+\frac{1}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^4)

E assim, obtemos aproximações de segunda ordem para as raízes:


\begin{array}{rcl}
x_1&=& 1+\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{1}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^4)\\
x_2&=& -1+\frac{1}{2}\varepsilon-\frac{1}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^4)
\end{array}
\,

Neste caso, o uso da fórmula de Bhaskara permite calcular diretamente as aproximações. Poderíamos no entanto ter encontrado essas aproximações supondo que cada raíz x depende analiticamente do parâmetro \varepsilon\,:


\begin{array}{rcl}
x&=&a_0 + a_1\varepsilon+a_2\varepsilon^2+\cdots\\
\end{array}
\,

Substituindo esta expressão na equação original, obtemos:


\begin{array}{rcl}
\left(a_0^2-1\right)+a_0\left(2a_1-1\right)\varepsilon+ \left(2a_0a_2+a_1^2-a_1\right)\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)=0
\end{array}
\,

Coletando os termos de mesma ordem e fazendo-os igual a zero, o mesmo resultado é obtido, ou seja:


\begin{array}{rcl}
a_0&=&\pm 1\\
a_1&=&\frac{1}{2}\\
a_2&=&\frac{a_1-a_1^2}{2a_0}=\frac{1}{8a_0}=\pm\frac{1}{8}
\end{array}
\,

Aplicação a uma equação do terceiro grau[editar | editar código-fonte]

Considere agora a seguinte equação do terceiro grau:

x^3-x+\varepsilon=0\,

É fácil ver que as raízes dessa equação quando \varepsilon=0\, são dadas por -1,0\hbox{ e } 1, pois:

x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)\,

Vejamos como estas raízes são perturbadas quando o parâmetro \varepsilon\, é pequeno. Para tal, definimos a série:


x=a_0 + a_1\varepsilon+a_2\varepsilon^2+\cdots
\,

e substituimos na equação:


\begin{array}{rcl}
\left[a_0^3-a_0
\right]+\left[a_1(3a_0^2-1)+1\right]\varepsilon+\left[3a_1^2a_0+3a_0^2a_2-a_2\right]\varepsilon^2=O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\,

Igualando a zero os termos de mesma ordem em \varepsilon\,, obtemos:


\begin{array}{rcl}
x_1&=&-1-\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
x_2&=&0+\varepsilon+O(\varepsilon^3)\\
x_3&=&1-\frac{1}{2}\varepsilon-\frac{3}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\\
\end{array}
\,

Aplicação a uma equação diferencial ordinária[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de valor inicial não linear dado por:


\left\{
\begin{array}{rcl}
u'(x) + u(x)&=& \varepsilon u^3(x),x>0 \\
u(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,

Procurando soluções da forma:

u(x)=u_0(x)+\varepsilon u_1(x)+O(\varepsilon^2)\,

encontramos:


\left\{
\begin{array}{rcl}
u_0'(x) + u_0(x)&=& 0,x>0 \\
u_0(0)&=&1
\end{array}
\right.
\,

e


\left\{
\begin{array}{rcl}
u_1'(x) + u_1(x)&=& u_0^3,x>0 \\
u_1(0)&=&0
\end{array}
\right.
\,

Cujas soluções são:


\begin{array}{rcl}
u_0(x)&=&e^{-x}\\
u_1(x)&=&\frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}
\end{array}
\,

Isto produz uma aproximação de u(x)\, da forma:


u(x)=e^{-x}+\varepsilon \frac{1}{2}\left(1-e^{-2x}\right)e^{-x}+O(\varepsilon^2)
\,

Um problema singular aplicado a uma equação diferencial ordinária[editar | editar código-fonte]

Convergência não-uniforme para a função f(x)

Considere o seguinte problema de valor de contorno:


\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2u''(x)+u(x)=f(x),~~ 0<x<1\\
u(0)=u(1)=0
\end{array}
\right.
\,

Aqui, f(x)\, é uma função suave e o parâmetro \varepsilon\, é positivo. Da teoria de Sturm-Liouville, inferimos que o problema possui uma solução única para cada \varepsilon>0\,, mas quando \varepsilon=0\,, a equação diferencial se transforma na igualdade u(x)=f(x)\,, o que pode ser incompatível com os valores de f(x)\, nos pontos x=0\, e x=1\,. Para resolver esse problema, escrevemos u(x)\, como a soma de três termos:

u(x)=f(x)+v(x)+\varepsilon^2w(x)\,

onde v(x)\, e w(x)\, satisfazem os seguintes problemas de contorno:


\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2v''(x)+v(x)=0,~~ 0<x<1\\
v(0)=-f(0)~~~v(1)=-f(1)
\end{array}
\right.
\,

e


\left\{
\begin{array}{l}
-\varepsilon^2w''(x)+w(x)=f''(x),~~ 0<x<1\\
w(0)=0~~~w(1)=0
\end{array}
\right.
\,

A primeira equação pode ser resolvida exatamente:


v(x)=\frac{f(0)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{x/\varepsilon}-e^{(2-x)/\varepsilon}\right]+\frac{f(1)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{(1-x)/\varepsilon}-e^{(x+1)/\varepsilon}\right]
\,

A segunda equação pode ser estimada usando o princípio do máximo:


|w(x)|\leq \sup_{[0,1]}|f''(x)|
\,

E assim obtemos uma aproximação para u(x)\,:

u(x)=f(x)+\frac{f(0)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{x/\varepsilon}-e^{(2-x)/\varepsilon}\right]+\frac{f(1)}{e^{2/\varepsilon}-1}\left[e^{(1-x)/\varepsilon}-e^{(x+1)/\varepsilon}\right]
+O(\varepsilon^2)\,