Teoria das probabilidades

A Teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.

Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a partir dos axiomas das probabilidades e da teoria de conjuntos.

Os teoremas seguintes supõem que o universo Ω é um conjunto finito, o que nem sempre é o caso, como por exemplo no caso do estudo de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal.

1. A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
2. Para todos os eventos arbitrários A₁ e A₂, a probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos tanto em A₁ como em A₂. Se a intersecção é vazia, então a probabilidade é igual a zero.
3. Para todos os eventos arbitrários A₁ e A₂, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos em A₁ ou A₂.

As fórmulas seguintes exprimem matematicamente as propriedades acima:

$\sum_{\omega\in\Omega} P\left(\left\{\omega\right\}\right) = P\left(\bigcup_{\omega\in\Omega}\left\{\omega\right\}\right)= 1$

$P\left[A_1 \cap A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cap A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)$

$P\left[A_1 \cup A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cup A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)$

Eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se:

P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8

P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8

P(A U B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/2

Veja também

• Wikilivros