Teoria das probabilidades

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A teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.

Os teoremas de base das probabilidades podem ser demonstrados a partir dos axiomas das probabilidades e da teoria de conjuntos.

Os teoremas seguintes supõem que o universo Ω é um conjunto finito, o que nem sempre é o caso, como por exemplo no caso do estudo de uma variável aleatória que segue uma distribuição normal.

  1. A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é igual a 1.
  2. Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos tanto em A1 como em A2. Se a intersecção é vazia, então a probabilidade é igual a zero.
  3. Para todos os eventos arbitrários A1 e A2, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada pela soma das probabilidades de todos os eventos elementares incluídos em A1 ou A2.

As fórmulas seguintes exprimem matematicamente as propriedades acima:

 \sum_{\omega\in\Omega} P\left(\left\{\omega\right\}\right) = P\left(\bigcup_{\omega\in\Omega}\left\{\omega\right\}\right)= 1
P\left[A_1 \cap A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cap A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)
P\left[A_1 \cup A_2 \right] = \sum_{\omega\in A_1\cup A_2}P\left(\left\{\omega\right\}\right)

Eventos mutuamente exclusivos[editar | editar código-fonte]

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Podemos estimar a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis, dadas as probabilidade de cada um dos dois eventos:

P(A) = P(menino\ de\ olhos\ castanhos) = 3/8
P(B) = P(menina\ de\ olhos\ azuis) = 1/8

Como é impossível nascer uma criança que seja ao mesmo tempo um menino de olhos castanhos e uma menina de olhos azuis, estes são eventos mutuamente exclusivos, e podemos proceder usando a fórmula citada acima:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/2

Observações[editar | editar código-fonte]

As probabilidades teóricas são utilizadas nessas situações em que o espaço amostral apresenta resultados conhecidos e com probabilidades iguais de ocorrer. Imagine um lançamento de um dado comum. Mesmo que todos os resultados tenham a mesma chance de ocorrer,o resultado que será observado é imprevisível. O lançamento de dado comuns é um experimento aleatório.

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