Teoria das singularidades

Em matemática, a teoria das singularidades estuda e classifica os germes de aplicações diferenciáveis em espaços euclidianos. A teoria das singularidades emprega ferramentas de diversas áreas, como topologia diferencial, álgebra comutativa e topologia algébrica.

Existem diversas aplicações para a teoria das singularidades, como o estudo da geometria extrínseca, o estudo de cáusticas em óptica e o estudo das transições de fase em mecânica estatística.

O conceito de germe

Sejam $m,n \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{R}^m$, e $C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)=\{f:U \rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $U$ é uma vizinhança aberta de $p$ e $f$ é de classe $C^\infty \}$. Dizemos que duas aplicações $f, g \in C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ estão relacionadas caso exista uma vizinhança $V \subset Dom(f)\cap Dom(g)$ contendo $p$, e de forma que $f$ e $g$ coincidam em $V$. Escrevemos, então, $f$ ~$g$.

~ define uma relação de equivalência sobre $C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$.

Como $f$ ~ $f'$ e $g$~$g'$ implica $f+g$ ~$f'+g'$, temos que $C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ módulo ~ define um espaço vetorial.

Denotaremos tal espaço vetorial por $G_p(m,n)$. Os elementos de $G_p(m,n)$ são chamados de germes de aplicações diferenciáveis em $p$. Note que apenas o comportamento local de uma aplicação $f$ é levado em conta ao se definir o seu germe. Ou seja, se $f,g \in C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$, e $f$ e $g$ são diferentes apenas num conjunto a uma distância positiva de $p$, então $f$ ~ $g$, o que implica que $f$ e $g$ definem o mesmo germe.

Se $f \in C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$, ainda denotaremos por $f$ a sua classe de equivalência em $G_p(m,n)$.

Definição de singularidade

Dizemos que $p \in \mathbb{R}^m$ é um ponto singular de uma aplicação diferenciável $f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ caso $f$ não tenha posto máximo, ou seja, caso a diferencial $D_p f$ não seja nem injetora nem sobrejetora.

Dizemos que um germe $f \in G_p(m,n)$ é singular caso algum representante de $f$ em $C^\infty_p(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n)$ seja singular.

Motivação da teoria

No caso em que $m=n$, a definição acima implica que para uma aplicação singular não podemos aplicar o teorema da função inversa para garantir a existência de inversa local ao redor de p. Isto acontece, por exemplo, quando consideramos uma função suave $f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ cujas derivadas parciais se anulam em 0. Apesar de 0 ser uma singularidade para este de função, podemos ainda assim, obter algumas informações sobe $f$ analisando sua matriz Hessiana $H(f)$. Pelo teorema de Morse, se $H(f)$ for invertível, podemos escrever a série de Taylor de f de ordem menor ou igual a dois, via mudança suave de coordenadas, na seguinte forma:

$\tilde{f}(x_1,...,x_m)=\delta_1 x_1^2 +...+\delta_m x_m^2$, onde os $\delta_i$'s valem um ou menos um.

Dizemos que f é uma função de Morse ao redor da origem.

O objetivo da Teoria das Singularidades é estudar e classificar as patologias decorrentes da ausência de uma inversa local ao redor de um determinado ponto do domínio de uma função diferencíavel. Tal estudo têm suas origens nos trabalhos de matemáticos como Marston Morse, Hassler Whitney, Vladimir Arnold e René Thom.