Teoria de placas e lâminas

Em engenharia estrutural, as placas, as lâminas, assim como o elemento estrutural em edificações chamado laje, são elementos estruturais que geometricamente podem ser aproximados por uma superfície bidimensional e que trabalham predominantemente em flexão. Estruturalmente a diferença entre placas e lâminas está na curvatura. As placas são elementos cuja superfície média é plana, enquanto que as lâminas são superfícies curvadas no espaço tridimensional (como as cúpulas, as paredes de reservatórios ou tanques).

Construtivamente são sólidos deformáveis nos quais existe uma superfície média (que é a que se considera aproximada de uma placa ou lâmina), a qual se adiciona uma certa espessura constante por cima e por baixo do plano médio. O fato de que esta espessura é pequena comparada com as dimensões da lâmina e por sua vez pequena comparada com os raios de curvatura da superfície, é o que permite reduzir o cálculo de placas e lâminas reais a elementos idealizados bidimensionais.

Cálculo de placas

Hipóteses de Reissner-Mindlin

Deformação transversal de uma placa na hipótese de Reissner-Mindlin onde θ_i e dw/dx_i não tem necessariamente que coincidir.

As hipóteses de Reissner-Mindlin são um conjunto de hipótese cinemáticas sobre como se deforma uma placa ou lâmina sob flexão que permitem relacionar os deslocamentos com as deformações. Uma vez obtidas as deformações a aplicação rotineira das equações da elasticidade permite encontrar as tensões, e encontrar a equação de governo que relaciona deslocamentos com as forças externas.

As hipóteses de Reissner-Mindlin para o cálculo elástico de placas e lâminas são:

1. O material da placa é elástico linear.
2. O deslocamento vertical para os pontos do plano médio não depende de z: u_z(x, y, z) = w(x, y).
3. Os pontos do plano médio só sofrem deslocamento vertical: u_x(x, y,0) = 0, u_y(x, y,0) = 0.
4. A tensão perpendicular ao plano médio se anula: σ_zz= 0.

Como consequência os deslocamentos horizontais só se dão fora do plano médio e só se produzem por rotação do segmento perpendicular ao plano médio. Como consequência das hipóteses de Reissner-Mindlin os deslocamentos podem ser escritos como:

$\begin{cases} u_x(x,y,z) = -z\theta_x(x,y) \\ u_y(x,y,z) = -z\theta_y(x,y) \\ u_z(x,y,z) = w(x,y) \end{cases}$

Hipótese de Love-Kirchhoff

Nas placas em que se despreza a deformação por cortante, pode-se supor adequadamente uma hipótesis adicional conhecida como hipótese de Love-Kirchhoff. Esta hipótese diz que:

5.

$\theta_x(x,y) = \frac{\partial w}{\partial x} \qquad \theta_y(x,y) = \frac{\partial w}{\partial y}$

Esta hipótese é análoga à hipótese de Navier-Bernoulli para vigas. De fato existe um paralelo entre os modelos de vigas e de placas. O modelo de placa de Reissner-Mindlin é o equivalente da viga de Timoshenko, enquanto que o modelo de placa de Love-Kirchhoff é o equivalente da viga de Euler-Bernoulli.

As hipóteses de Reissner-Mindlin combinadas com a hipótese de Love-Kirchhoff proporcionam uma hipótese cinemática para os deslocamentos. A partir desses deslocamentos pode se calcular facilmente as deformações para uma placa delgada:

$\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}$

Em função dessas deformações as tensões são calculadas trivialmente a partir das equações de Lamé-Hooke que generalizam a lei de Hooke para sólidos deformáveis.

Equação de Lagrange para placas delgadas

Para uma placa plana de espessura constante na qual sejam válidas as hipótesis de Reissner-Mindlin e Love-Kircchoff o caimento vertical em cada ponto sob a ação das cargas apoiadas sobre ela é dado por:

$\Delta \Delta w(x,y) = \frac{q(x,y)}{D}$ [1]

Onde w(x, y) é a flexão vertical ou caimento vertical da placa no ponto de coordenadas (x, y), q(x, y) é a carga por unidade de área no mesmo ponto, o operador laplaciano é definido pela seguinte soma de operadores:

$\Delta = \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}$

E finalmente a constante D é a rigidez flexional de placas e é dada em função da espessura da placa (h), o módulo de Young (E), o coeficiente de Poisson (ν):

$D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$

É interessante notar que a equação [1] é o análogo da equação elástica para vigas. Para placas de espessura não constante, analogamente ao caso da equação elástica para vigas, a flexão e a carga aplicada estão relacionadas pela equação:

$\Delta \left (D \Delta w(x,y) \right ) = q(x,y)$ [2]

Onde agora a rigidez flexional D é função D(x, y) que depende do ponto concreto de placa.

Cálculo de tensões em placas delgadas

Em uma lâmina submetida fundamentalmente a flexão na qual se despreza a deformação por cortante, ou lâmina de Love-Kirchhof, os esforços internos se caracterizam por dois momentos fletores $m_x, m_y\;$ segundo duas direções mutuamente perpendiculares e um esforço torsor $m_{xy}$. Estes esforços estão diretamente relacionados com a flexão vertical w(x, y) em cada ponto por:

$\begin{cases} m_x = -D\left[\cfrac{\part^2 w}{\part x^2}+ \nu \cfrac{\part^2 w}{\part y^2}\right] & m_{xy} = -D(1-\nu) \left[\cfrac{\part^2 w}{\part y\part x}\right]\\ m_y = -D\left[\nu \cfrac{\part^2 w}{\part x^2}+ \cfrac{\part^2 w}{\part y^2}\right] \end{cases}$

Onde:

$\nu\,$, é o coeficiente de Poisson do material da placa.

$D = Eh^3/12(1-\nu^2)\;$, é a rigidez em flexão da placa, sendo:

$E\;$ o módulo de Young do material da placa, e h a espessura da placa.

As tensões sobre uma placa são diretamente calculáveis a partir dos esforços anteriores:

$\begin{cases} \sigma_{xx} = \cfrac{12z}{h^3}m_y(x,y) & \sigma_{xy} = \cfrac{12z}{h^3}(1-\nu)^2m_{xy}(x,y)\\ \sigma_{yy} = \cfrac{12z}{h^3}m_x(x,y) & \sigma_{xz} = \sigma_{yz} = \sigma_{zz} = 0 \end{cases}$

Cálculo de lâminas

Uma lâmina é um elemento estrutural bidimensional curvado. Se as placas se tratam analogamente as vigas retas, as lâminas são o análogo bidimensional dos arcos. Usando coordenadas curvilíneas ortogonais sobre a superfície $(\alpha, \beta)\,$ podem se escrever as equações de equilíbrio para os esforços internos para uma lâmina de Reisner-Mindlin como:

$\begin{cases} -\cfrac{U'_v}{UV}n_{uv}+\cfrac{V'_u}{UV}n_{vv}+\cfrac{q_u}{R_u}-\cfrac{1}{UV} \left[(Vn_{uu})'_u + (Un_{vu})'_v \right] = p_u \\ +\cfrac{U'_v}{UV}n_{uu}-\cfrac{V'_u}{UV}n_{vu}+\cfrac{q_v}{R_v}-\cfrac{1}{UV} \left[(Vn_{uv})'_u + (Un_{vv})'_v \right] = p_v \\ -\cfrac{n_{uu}}{R_u} - \cfrac{n_{vv}}{R_v} -\cfrac{1}{UV} \left[(Vq_u)'_u + (Uq_v)'_v \right] = p_\eta \\ -\cfrac{U'_v}{UV}m_{uv}+\cfrac{V'_u}{UV}m_{vv} + q_u -\cfrac{1}{UV} \left[(Vm_{uu})'_u + (Um_{vu})'_v \right] = m_u \\ +\cfrac{U'_v}{UV}m_{uu}-\cfrac{V'_u}{UV}m_{vu}+ q_v -\cfrac{1}{UV} \left[(Vm_{uv})'_u + (Um_{vv})'_v \right] = m_v \end{cases}$

Onde:

${'}_u,\ {'}_v$, indicam as derivadas parciais em relação às coordenadas u, v.

$U = \|{\mathbf{r}'}_u\|$ é o módulo do vetor tangente associado à coordenada u.

$V = \|{\mathbf{r}'}_v\|$ é o módulo do vetor tangente associado à coordenada v.

$R_u, R_v\,$ são os raios de curvatura segundo as direções das linhas coordenadas.

$p_u, p_v, p_\eta\,$ são as forças por unidade de área em cada ponto da lâmina.

$m_u, m_v\,$ são os momentos por unidade de área em cada ponto da lâmina.

$n_{uu}, n_{uv}, n_{vu}, n_{vv}\,$ são os esforços de membrana.

$q_u, q_v\,$ são os esforços cortantes da placa.

$m_{uu}, m_{vv}\,$ são os momentos fletores da placa.

$m_{uv}, m_{vu}\,$ são os momentos torsores da placa.

Cúpula sob seu próprio peso

Como exemplo das equações anteriores podemos considerar uma cúpula em forma de calota esférica submetida a seu próprio peso. Cada ponto da cúpula bidimensional pode ser parametrizado mediante as coordenadas $(u,v)\ [= (\theta, \phi)]\,$:

$\mathbf{r} = R_C(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta), \qquad \mathbf{p} = (p_\theta, p_\phi, p_\eta) = -p(\sin\theta, 0, \cos\theta)$

Com o qual temos os fatores geométricos seguintes:

$U=\|\mathbf{r}_\theta\| =R_C, \qquad V=\|\mathbf{r}_\phi\| = R_C\sin\theta$

E portanto as equações anteriores ficarão reduzidas a:

$\begin{cases} +n_{\phi\phi}\cos\theta + q_\theta - (n_{\theta\theta})'_\theta - n_{\theta\theta}\tan\theta = -R_Cp\sin\theta \\ -n_{\phi\theta}\cos\theta +\cfrac{q_\phi}{\sin\theta}- (n_{\theta\phi})'_\theta - n_{\theta\phi}\tan\theta = 0 \\ -n_{\theta\theta} - \cfrac{n_{\phi\phi}}{\sin\theta} -(q_\theta)'_\theta - q_\theta\tan\theta = -R_Cp\cos\theta \\ +m_{\phi\phi}\cos\theta + R_Cq_\theta -(m_{\theta\theta})'_\theta - m_{\theta\theta}\tan\theta = 0 \\ -m_{\phi\theta}\cos\theta + R_Cq_\phi -(m_{\theta\phi})'_\theta - m_{\theta\phi}\tan\theta = 0 \end{cases}$