Teoria do caos

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Os fractais são representantes matemáticos de padrões aparentemente complicados mas que podem ser gerados por leis de evolução simples, como previsto pela Teoria do Caos


A Teoria do caos trata de sistemas complexos e dinâmicos rigorosamente deterministas, mas que apresentam um fenômeno fundamental de instabilidade chamado sensibilidade às condições iniciais que, modulando uma propriedade suplementar de recorrência, torna-os não previsíveis na prática a longo prazo.

Em sistemas dinâmicos complexos, determinados resultados podem ser "instáveis" no que diz respeito à evolução temporal como função de seus parâmetros e variáveis.

Isso significa que certos resultados determinados são causados pela ação e a iteração de elementos de forma praticamente aleatória. Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a evaporação da água, os ventos, o clima, condições do Sol, os eventos sobre a superfície e inúmeros outros.

Além disso, mesmo que o número de fatores influenciando um determinado resultado seja pequeno, ainda assim a ocorrência do resultado esperado pode ser instável, desde que o sistema seja não-linear.

A conseqüência desta instabilidade dos resultados é que mesmo sistemas determinísticos (os quais tem resultados determinados por leis de evolução bem definidas) apresentem uma grande sensibilidade a perturbações (ruído) e erros, o que leva a resultados que são, na prática, imprevisíveis ou aleatórios, ocorrendo ao acaso. Mesmo em sistemas nos quais não há ruído, erros microscópicos na determinação do estado inicial e atual do sistema podem ser amplificados pela não-linearidade ou pelo grande número de interações entre os componentes, levando ao resultado aleatório. É o que se chama de "Caos Determinístico"

Na verdade, embora a descrição da mecânica clássica e relativística seja determinística, a complexidade da maioria dos sistemas leva a uma abordagem na qual a maioria dos graus de liberdade microscópicos é tratada como ruído (variáveis estocásticas, ou seja, que apresentam valores verdadeiramente aleatórios) e apenas algumas variáveis são analisadas com uma lei de comportamento determinada, mais simples, sujeita à ação deste ruído. Este método foi utilizado por Einstein e Paul Langevin no início do século XX para compreender o Movimento Browniano.

Pois, é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o que as pessoas pensam que é acaso mas, na realidade, é um fenômeno que pode ser representado por equações. Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas equações capazes de simular o resultado de sistemas como esses, ainda assim, a maior parte desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que normalmente não ocorre na natureza.

Os cálculos envolvendo a Teoria do Caos são utilizados para descrever e entender fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro e movimentos de placas tectônicas, entre outros. Uma das mais conhecidas bases da teoria é o chamado "efeito borboleta", teorizado pelo matemático Edward Lorenz, em 1963.

Ideia inicial[editar | editar código-fonte]

A ideia é que uma pequena variação nas condições em determinado ponto de um sistema dinâmico pode ter consequências de proporções inimagináveis. "O bater de asas de uma borboleta em Tóquio pode provocar um furacão em Nova Iorque."12345

Galileu, Newton e Laplace[editar | editar código-fonte]

Galileu Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à simplicidade da obtenção de resultados. Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas.

Com Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em relação ao Sol.

Portanto, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.

Porém, ao se acrescentarem mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não-lineares.

Gravitação[editar | editar código-fonte]

Ao se encontrar no estudo do sistema gravitacional equações diferenciais não lineares, estas se tornavam impossíveis de ser resolvidas.

Laplace afirmou que “...(sic) uma inteligência conhecendo todas as variáveis universais em determinado momento, poderia compor numa só fórmula matemática a unificação de todos os movimentos do Universo".

Conseqüentemente deixariam de existir para esta inteligência o passado e o futuro, pois aos seus olhos todos os eventos seriam resultantes do momento presente.”

Perseguindo a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da teoria das probabilidades, trabalhou nas equações diferenciais, criou a transformada de Laplace além de estudar a equação de Laplace.

Henri Poincaré[editar | editar código-fonte]

Henri Poincaré em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, tornavam-se complexas e irregulares.

Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.

Os resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração matemática. Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos, porém como curiosidade sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.

Década de oitenta do século XX[editar | editar código-fonte]

Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.

Teoria[editar | editar código-fonte]

Um conjunto de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema. Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que divergem entre si na sua relação de causa e efeito. Na primeira, a resposta a um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda, a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que servem de objeto à teoria do caos, mais conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares.

Esta teoria estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando uma faceta em que podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita precisa.

Uma das ideias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais (aleatórios) também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa, sendo que o futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema serão caóticos.

Sistemas caóticos[editar | editar código-fonte]

Num sistema contínuo de segunda ordem, o teorema de Poincaré-Bendixon garante que as trajetórias que não têm conjuntos limite positivo nem negativo são trajetórias que se aproximam para o infinito nos limites t\rightarrow\infty e t\rightarrow -\infty.

Num sistema contínuo com 3 ou mais variáveis de estado, já não se verifica o teorema de Poincaré-Bendixon. Assim, podem existir trajetórias que nunca saem de uma região finita do espaço de fase, mas que não têm conjuntos limite positivo nem negativo. Para qualquer valor de t, positivo ou negativo, a trajetória nunca passa novamente por um ponto do espaço de fase por onde passa num instante t_1 (se o fizer, entrava num ciclo e teria um conjunto limite). O sistema evolui para um número infinito de estados diferentes, sem sair duma região finita do espaço de fase; nomeadamente, as variáveis de estado nunca chegam a crescer indefinidamente. Esse tipo de comportamento é designado de caos.

Quando o conjunto limite positivo de várias trajetórias for o mesmo, esse conjunto limite designa-se atrator. As trajetórias caóticas não têm nenhum conjunto limite, mas costumam aparecer na proximidade de um conjunto de pontos de equilíbrio (ou ciclo) atrativos e repulsivos, designados atrator estranho. A conjugação de atração e repulsão dá origem ao comportamento caótico.[1]

Bola elástica sobre uma mesa oscilatória[editar | editar código-fonte]

Um sistema mecânico simples em que aparecem trajetórias caóticas é uma bola que cai para uma mesa horizontal, perde uma percentagem da sua energia quando choca com a mesa, e após a colisão é projetada para cima. Se a mesa estiver estática, a bola acabará por ficar em repouso sobre a mesa, após alguns saltos. [1]

Se a mesa tiver um movimento oscilatório, a bola pode ganhar eneolidir com a mesa quando esta está a deslocar-se para cima. Se a oscilação da mesa for suficientemente rápida e com amplitude suficientemente grande a trajetória da bola poderá ser caótica.

Nesse caso, em cada impacto com a mesa, a velocidade da bola mudava de sentido e era multiplicada pelo coeficiente de restituição \alpha, menor que 1. Com a mesa em movimento, se v_o e v_m forem as componentes verticais da velocidade da bola e da mesa, no instante da colisão, e v_f for componente da velocidade da bola imediatamente após a colisão, verifica-se a equação


  v_f - v_m = -\alpha(v_o - v_m)

nomeadamente, a velocidade da bola, relativa à mesa, muda de sentido e diminui num fator \alpha. Assim, a velocidade da bola após o impacto é


  v_f = (\alpha+1)\,v_m -\alpha\,v_o

Se o movimento da mesa for Movimento harmônico simples, escolhendo a origem de coordenadas e do tempo de forma apropriada, podemos escrever a altura da superfície da mesa em função do tempo


  y_m = \beta\,\sin(\omega\,t)

a derivada de y_m dá a velocidade instantânea da mesa


  v_m = \omega\beta\,\cos(\omega\,t)

A condição que indicava cada impacto da bola com a mesa era quando a altura das duas for a mesma e a componente vertical da velocidade da bola fosse menor que a componente vertical da mesa (bola a aproximar-se da mesa). Devido a que no programa o tempo não aumenta continuamente, mas em intervalos discretos, as duas alturas não chegam a ser iguais, e usamos como condição de impacto que a altura do centro da bola fosse menor que a da superfície da mesa.[1]

Trajetórias da bola elástica em queda livre sobre a mesa. No lado esquerdo, quando a mesa está em repouso, e no lado direito quando a mesa oscila.

O resultado é apresentado no lado direito da figura acima; são apresentadas apenas duas das 3 variáveis de estado, a altura da bola e a velocidade, pois o tempo também é uma variável de estado neste caso (o sistema não é autônomo). Consequentemente, a trajetória da figura acima não há chega a cruzar-se com si própria, porque os diferentes pontos da trajetória têm todos valores diferentes da terceira variável de estado.

As diferentes parábolas no lado direito da figura acima não surgem de forma ordenada, de maior para menor ou de menor para maior, mas de forma bastante irregular. O ponto de equilíbrio em y=0, v=0 desaparece e é substituído por um ciclo, que corresponde à situação em que a bola estivesse em repouso em relação à mesa, oscilando com o mesmo movimento oscilatório; esse ciclo é um atrator estranho.

Efeito Borboleta[editar | editar código-fonte]

Ao efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito Borboleta, ou seja, uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados. Assim, havendo uma distância, mesmo que ínfima, entre dois pontos iniciais diferentes, depois de um tempo os pontos estariam completamente separados e irreconhecíveis.

Normalmente este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no intervalo de tempo de semanas.

É por esse motivo que as previsões meteorológicas possuem erros. Para evitar tais erros precisaríamos de medidas exatas de muitas variáveis (pressão, temperatura...) em praticamente todos os pontos do globo terreste, o que, atualmente, é impraticável. Além da falta de medidas, as medidas tomadas possuem ainda um certo grau de erro, gerando os problemas que conhecemos para as previsões.

Equações de Rössler[editar | editar código-fonte]

Em 1976 Rössler estudou o sistema:


\begin{align}
  &\dot{x} = -(y+z) \\
 &\dot{y} = x + ay \\
  &\dot{z} = b + xz - cz
\end{align}

Para valores pequenos do parâmetro c as trajetórias do sistema, atingem um estado estacionário que é um ciclo com período simples.

Equações de Lorenz[editar | editar código-fonte]

No sistema da bola elástica na seção anterior, a trajetória caótica permanece numa região finita do plano y-v, mas a terceira variável de fase, o tempo, está sempre a aumentar e, portanto, não permanece numa região finita. Vamos ver outro sistema caótico no qual todas as variáveis aumentam e diminuem sem sair duma região finita do espaço de fase. Trata-se do sistema de Lorenz.[1]

Em 1963, o meteorologista Edward Lorenz apresentou um modelo meteorológico para as correntes de convecção do ar em planos verticais, produzidas por aquecimento na aresta inferior dos planos. As três equações diferencias do sistema são as seguintes


\begin{align}
  \dot{x} &= \sigma\,(y-x) \\
  \dot{y} &= r\,x - y - x\,z \\
  \dot{z} &= x\,y - b\,z
\end{align}

onde x representa a amplitude das correntes de convecção, y é a diferença de temperaturas entre as correntes ascendente e descendente, e z representa o desvio da temperatura normal no plano. Os três parâmetros \sigma, r e b são positivos e dependem das propriedades físicas do fluxo de ar.[1]

Algumas propriedades deste sistema são:

  • Existe simetria em relação à transformação

(x,y,z)\longrightarrow (-x,-y,z)

  • O eixo z é invariante; nomeadamente, se o estado em algum

instante estiver no eixo z, continuará a evoluir nesse eixo.

intervalo 0<r<1, o único ponto de equilíbrio é a origem, que é ponto de equilíbrio estável.[1]

  • Existe uma bifurcação do ponto de equilíbrio na origem, quando

r=1. Para valores r superiores a 1, a origem torna-se ponto de equilíbrio instável, e aparecem outros dois pontos de equilíbrio, com os mesmo valor de z, mas com valores simétricos de x e y.

  • Se r estiver compreendido entre 1 e o valor crítico:


r_c = \frac{\sigma\,(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}

Os dois novos pontos de equilíbrio são estáveis e a origem é instável. Para valores de r superiores ao valor crítico, os 3 pontos de equilíbrio são instáveis, e constituem um atrator estranho.

Usaremos alguns valores típicos de \sigma (número de Prandtl) e de b: 10 e 8/3 e obter a trajetória com valores iniciais x=y=z=5, desde t=0 até t=20.

Convém conferir que a solução numérica tenha um erro numérico aceitável; isso consegue-se reduzindo sucessivamente o valor de \Delta t, até obter resultados semelhantes,[1]

Comportamento assimptótico[editar | editar código-fonte]

Em alguns exemplos de sistemas em que o estado evolui para um ponto de equilíbrio estável como o pêndulo; o atrito com o ar faz diminuir a amplitude das oscilações e o pêndulo aproxima-se da posição de equilíbrio estável, na posição mais baixa do pêndulo.

Outros sistemas evoluem aproximando-se de um ciclo no espaço de fase; após algum tempo, cada variável de estado varia de forma cíclica repetitiva. Os pontos do espaço de fase que fazem parte do ciclo limite constituem o conjunto limite para o estado do sistema.

Se \Gamma for uma trajetória do sistema, no espaço de fase, o conjunto limite positivo, \omega(\Gamma), é o ponto, ou conjunto de pontos, para onde a trajetória \Gamma se aproxima, no limite t\rightarrow\infty.

Define-se também o conjunto limite negativo, \alpha(\Gamma), constituído pelo ponto ou conjunto de pontos onde a trajetória se aproxima no limite t\rightarrow -\infty.[1]

Esses conjuntos limite poderão não existir, se a trajetória se afastar continuamente sem limite. Se existirem, os conjuntos limite poderão ser pontos de equilíbrio, ciclos ou órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.

A designação \alpha e \omega para os conjuntos limite negativo e positivo, é devida a que essas duas letras são a primeira e última letra no alfabeto grego; \alpha(\Gamma) é a origem donde sai a trajetória \Gamma, e \omega(\Gamma) é o fim de \Gamma.

Teorema de Poincaré-Bendixon[editar | editar código-fonte]

Num sistema dinâmico onde existam unicamente duas variáveis de estado, que possam ter qualquer valor real, o espaço de fase é um plano. Se as duas variáveis de estado fossem x_1 e x_2, o espaço de fase será o plano x_1x_2. As equações de evolução serão:


\begin{align} \dot{x_1} &= f_1(x_1,x_2) & \dot{x_2} &= f_2(x_1,x_2)
\end{align}


e a velocidade de fase em qualquer ponto do espaço de fase é o vetor:


  \vec{u} = f_1(x_1,x_2)\,\vec{e}_1 + f_2(x_1,x_2)\,\vec{e}_2

Em cada ponto esse vetor determina a tangente à curva de evolução \Gamma que passa por esse ponto. Duas curvas de evolução diferentes nunca se podem cruzar em nenhum ponto no domínio das funções f_1 e f_2, porque no ponto em que se cruzassem existiriam duas velocidades de fase diferentes, que não é possível.[1]

Em qualquer sistema com

apenas duas variáveis de estado (espaço de fase plano), se existir o conjunto limite positivo, ou negativo, de uma trajetória \Gamma, esse conjunto limite deverá ser um dos três casos seguintes

  • Um ponto de equilíbrio.
  • Um ciclo.
  • Uma órbita homoclínica ou heteroclínica.

Em particular, quando existir o conjunto limite positivo \omega(\Gamma), é designado também por atrator. Segundo o teorema de Poncairé-Bendixon, no plano os únicos atratores podem ser pontos de equilíbrio, ciclos, órbitas homoclínicas ou órbitas heteroclínicas.[1]

Se o conjunto limite positivo, \omega(\Gamma), de uma trajetória for um único ponto, esse ponto deverá ser um ponto de equilíbrio, que pode ser um nó ou foco estável, ou um ponto de sela. Se o conjunto limite negativo, \alpha(\Gamma), for um único ponto, poderá ser um ou foco repulsivo, ou um ponto de sela.

Um ponto de sela pode ser simultâneamente conjunto limite positivo e negativo de uma trajetória; nomeadamente, a trajetória começa nesse ponto de sela e fecha-se terminando no mesmo ponto de sela. Esse tipo de trajetória fechada constitui uma órbita homoclínica.[1]

Critério de Bendixon[editar | editar código-fonte]

A divergência da velocidade de fase é definida por:


\nabla\cdot\vec{u} = \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} + \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}

Outro teorema importante, designado de critério de Bendixon é o seguinte:

Num sistema dinâmico com apenas duas variáveis de estado, se numa região simplesmente conexa R, do plano de fase, a divergência da velocidade de fase for sempre positiva ou sempre negativa, então em R não existe nenhum ciclo, nem órbita homoclínica nem órbita heteroclínica.

Uma região R simplesmente conexa é uma região sem nenhum buraco no seu interior: a reta que une dois pontos quaisquer na região deverá estar contida completamente em R.

O critério de Bendixon é útil para determinar em que regiões do plano de fase podem existir ciclos, órbitas homoclínicas ou heteroclínicas.[1]

Exemplo Demonstrando-se que um pêndulo, amortecido pela resistência do ar não pode ter nenhum ciclo, nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas, temos:

As equações de evolução para o ângulo, \theta, e a velocidade angular \omega do pêndulo são obtidas adicionando a força de resistência do ar (ver equação Força de resistência nos fluidos às equações de evolução do pêndulo ideal:


\begin{align}
  \dot{\theta} &= \omega &
  \dot{\omega}& = -\frac{g}{l}\,\sin\theta - K_1\,\omega - K_2\,|\omega|\,\omega
\end{align}

onde g é a aceleração da gravidade, l é o comprimento do pêndulo e K_1 e K_2 são duas constantes obtidas a partir da equação , dividida por l.

A divergência da velocidade de fase é:

\nabla\cdot\vec{u} = \dfrac{\partial \omega}{\partial \theta} + \dfrac{\partial \left(-\dfrac{g}{\partial l}\,\sin\theta - K_1\,\omega -
      K_2\,|\omega|\,\omega\right)}{\omega} = -K_1 -2\,K_2\,|\omega|

Assim, conclui-se que a divergência é sempre negativa (sistema dissipativo) e, portanto, não existe nenhum ciclo nem órbitas homoclínicas ou heteroclínicas. No caso conservativo, quando as constantes da resistência do ar, K_1 e K_2, forem nulas, a divergência será nula e já não verificará a condição do critério de Bendixon; nesse caso existem ciclos.[1]

Se existir uma curva de evolução fechada C, formada por um ciclo, órbita homoclínica ou heteroclínica, no interior dessa órbita fechada e na sua vizinhança, as trajetórias podem ter algum dos 3 comportamentos seguintes:

  • Aproximam-se assimptóticamente de C.
  • Afastam-se assimptóticamente de C.
  • Formam uma família contínua de ciclos.

No primeiro caso, a curva C será o conjunto limite positivo, \omega(\Gamma), de todas as curvas \Gamma no seu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que seja o conjunto limite negativo \alpha(\Gamma) de todas essas curvas; consequentemente, esse ponto de equilíbrio deverá ser um nó ou foco instável.

No segundo caso, a curva C será conjunto limite negativo, \alpha(\Gamma), de todas as curvas \Gamma no seu interior. Deverá existir necessariamente um ponto de equilíbrio, no interior de C, que seja o conjunto limite positivo \omega(\Gamma) de todas essas curas; consequentemente, esse ponto de equilíbrio deverá ser um nó ou foco estável.

No terceiro caso, um dos ciclos menores pode ser ciclo limite atrativo ou repulsivo, existindo assim um nó ou foco no seu interior, como nos dois casos anteriores. Se nenhum dos ciclos na família de ciclos internos for um ciclo limite, deverá existir um centro no interior da família de ciclos.

Independentemente da situação no interior da curva C, no seu exterior poderão existir outros ciclos, ou C poderá ser conjunto limite atrativo ou repulsivo. Isto é, uma órbita fechada pode ser atrativa no interior e no exterior, atrativa no interior mas repulsiva no exterior, etc.[1]

Diagrama de órbitas[editar | editar código-fonte]

O diagrama de órbitas mostra numa forma compacta o comportamento de um sistema dinâmico, em função do valor de um parâmetro. Para cada valor do parâmetro, dentro de um intervalo que admita soluções não divergentes, calculam-se vários pontos da solução do sistema, e eliminam-se alguns pontos no início para eliminar qualquer estado transitório inicial.[2]

Atrator[editar | editar código-fonte]

Um atrator é um ponto (ou o conjunto dos pontos atratores, dependendo o contexto) para o qual toda órbita que passar por um ponto suficientemente próximo converge para o ponto, isto é, fica indefinidamente próximo bastando para isso esperar um tempo suficiente.

No caso de um campo de vetores, um atrator é sempre uma singularidade: se o atrator for o estado inicial, ele será o estado atingido para todo tempo passado e futuro.

Por exemplo, uma bola rolando por uma superfície plana com atrito pára. O atrator desse sistema dinâmico é o conjunto dos pontos (ou estados) em que a bola está parada.

Atrator estranho[editar | editar código-fonte]

Ao observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a algo que se chama atrator estranho.

A convergência não será simples como nos casos prescritos para o caso bidimensional pelo teorema de Poincaré-Bendixson. A órbita de um ponto genérico se aproximará dos dois pontos (que são singularidades do campo) alternadamente. E quanto mais avançamos na órbita, certos padrões semelhantes a conjuntos de Cantor aparecem nas interseções.

Atratores e fractais[editar | editar código-fonte]

Os fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. A partir dos estados de um determinado sistema onde existem variáveis tais como massa, pressão, temperatura, velocidade, posição, etc, estes podem ser representados por coordenadas, num determinado espaço cuja configuração pode ser considerada multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas variáveis. Na física clássica podemos descrever o comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.

Os atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado fractal, que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.

Bifurcações[editar | editar código-fonte]

Uma Bifurcação num sistema dinâmico é uma mudança na natureza de um ponto fixo, devida à mudança de um parâmetro do sistema.[1]

Existem três tipos comuns de bifurcações que são designados por bifurcação sela-nó, bifurcação transcrítica e bifurcação de forquilha.[1]

Bifurcação sela-nó[editar | editar código-fonte]

Neste tipo de bifurcação, o sistema não tem nenhum ponto fixo, mas quando aumenta um parâmetro do sistema, aparece um ponto fixo não-hiperbólico que depois se separa em dois pontos fixos: um ponto de sela e um nó.[1]

Por exemplo, consideremos a seguinte família de sistemas dinâmicos:


  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu - x^2\\\dot{y} = -y\end{array}\right.

que depende de um parâmetro real \mu.

Bifurcação transcrítica[editar | editar código-fonte]

Numa bifurcação transcrítica, dois pontos fixos aproximam-se, combinando-se num único ponto fixo, que depois se separa novamente nos dois pontos.

Por exemplo, na família de sistemas


  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu x - x^2\\\dot{y} = -y\end{array}\right.

Se o parâmetro \mu for diferente de zero, existirão dois pontos fixos:

(0,0)\qquad (\mu,0)

e se o parâmetro for nulo, o único ponto fixo é a origem.

Bifurcação de forquilha[editar | editar código-fonte]

Na bifurcação de forquilha, existe um ponto fixo estável que se torna instável, dando origem a dois novos pontos fixos estáveis.[1]

Por exemplo, na família de sistemas:


  \left\{\begin{array}{l}\dot{x} = \mu x - x^3\\\dot{y} = -y\end{array}\right.

Se o parâmetro \mu for negativo, o único ponto fixo é um nó estável na origem.

quando o parâmetro \mu é nulo, o ponto fixo na origem torna-se não-hiperbólico e estável.

Para valores positivos do parâmetro, existem 3 pontos fixos:

(-\sqrt{\mu},0)\qquad (0,0)\qquad (\sqrt{\mu},0)

A origem torna-se instável (ponto de sela). Os outros dois pontos fixos são nós estáveis.[1]

Bifurcações e caos em sistemas discretos[editar | editar código-fonte]

Dois membros da família de mapas quadráticos , com c=1 e c=1/4.

Um sistema simples que conduz a soluções caóticas chama-se do sistema quadrático,[3] definido por uma família de sistemas dinâmicos discretos, com um parâmetro real c:


y_{n+1} = y_n^2 + c

As soluções do sistema obtêm-se por iterações sucessivas da função


Q(y) = y^2 + c

No caso c = 1, não existem pontos fixos, como se pode observar na figura. O primeiro ponto fixo aparecerá quando a parâbola y^2 + c tocar a reta, no ponto (1/2, 1/2). Isso acontecerá quando c for igual a 1/4. Quando c diminui até 1/4, diz-se que aconteceu uma bifurcação, pois o sistema passa de não ter nenhum ponto fixo a ter um ponto fixo.

Para c=1/4, se o ponto inicial estiver dentro de a região a tracejado na figura, nomeadamente, se -1/2\leq y\leq 1/2, a solução será uma sequência convergente, com limite igual a 1/2. Essa é a região de convergência do sistema, também designada de bacia de atração . Por fora dessa região, a solução diverge até infinito. [4]

O intervalo de convergência ``dobra-se sobre si próprio, pois dois pontos x e -x nesse intervalo terminam no mesmo ponto x^2 + c após uma iteração da função. A iteração da função transporta os pontos no intervalo [-1/2, 1/2] para um intervalo mais pequeno [1/4, 1/2].

Se =0 (figura ao lado direito) o intervalo de convergência passa a ser [-1,-1] e a iteração da função dobra-o sobre si próprio, sem deformação, ficando com metade do seu tamanho: [0, 1].[5]

As funções Q(vermelho) e Q²(verde) para c = 0 e c = −3/4.
Para c = −1 o sistema tem um ciclo de ordem 2 e para c = −2 existem ciclos com qualquer período.

Existem dois pontos fixos do sistema, em y=0 e y=1, mas só um deles, y=0,é atrativo. Assim, no intervalo de convergência a solução é uma sucessão que se aproxima de zero. No mesmo gráfico (figura ao lado direito) foi representada em verde a segunda iteração da função, F(F(y)). Essa função corta a recta unicamente nos pontos fixos, o que nos permite concluir que não existe nenhum ciclo de período 2.[1]

A partir de c=-3/4 ocorre uma segunda bifurcação: o ponto fixo estável passa ser instável e aparece um ciclo de período 2. Na (figura ao lado esquerdo), para c=-1, podem ver-se os dois pontos que fazem parte desse ciclo: são os pontos onde a curva F(F(y)) (a verde) atravessa a recta, excluindo o ponto fixo (onde a parábola corta a reta).

Em c=-2, o intervalo de convergência, é esticado e dobrado, preenchendo o mesmo intervalo inicial [-2, 2]. A função F(F(y)) também preenche completamente esse intervalo, e o mesmo acontece com qualquer outra iteração da função. Isso mostra que existem ciclos de todos os períodos possíveis. [1]

c=-2.2 e conjunto de Cantor.

Num pequeno intervalo dentro da região de convergência existirão pontos que pertencem a ciclos de vários períodos diferentes. A solução obtida a partir de um ponto inicial no intervalo [-2, 2] evolui em forma errática por vários pontos diferentes no mesmo intervalo. Uma pequena mudança no ponto inicial conduz a soluções completamente diferentes. Trata-se de um sistema caótico.

Se continuarmos a diminuir o parâmetro c, por exemplo até -2.2, aparece um intervalo à volta da origem onde a primeira iteração da função produz um número fora do intervalo de convergência e, por tanto uma sequência divergente (figura ao lado). Consequentemente, o intervalo de convergência é formado realmente por dois intervalos separados por um buraco no meio. Mas no centro de cada um desses dois intervalos existe também um pequeno intervalo onde a segunda iteração da função sai por fora do intervalo de convergência, como se pode ver no lado direito da figura ao lado.[6]

Olhando para as iterações de ordens superiores, conclui-se que cada subintervalo está sempre cortado no meio. O conjunto de pontos que formam o intervalo de convergência, obtido por eliminação recursiva de intervalos no meio, é designado por conjunto de Cantor.

Trata-se de um conjunto fechado, mas não-conexo: o segmento de recta que une dois pontos dentro do conjunto não pertence totalmente ao conjunto. Uma parte pequena do conjunto é semelhante ao conjunto inicial, numa escala mais pequena. Esse tipo de conjunto é denominado fractal.[7]

Exemplos físicos de bifurcações[editar | editar código-fonte]

Se a base dum pêndulo roda no plano horizontal, com velocidade angular maior que \sqrt{g/l}, a posição mais baixa do pêndulo deixa de ser ponto de equilíbrio estável, passando a ser ponto de equilíbrio instável, e aparecem dois novos pontos de equilíbrio estável.[1]

Pêndulo simples com a base em rotação no plano horizontal e diagrama de forças externas.

No referencial que roda com a base, existe uma força fitícia, a força centrífuga:


  F_c = m\,R\,\omega_b^2

onde R é a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo do pêndulo, e \omega_b é a velocidade angular da base. A soma dessa força, junto com o peso e a tensão na barra, produzem uma força resultante com componente tangencial


  F_\mathrm{t} = m\,\sin\theta\left(l\,\omega_b^2\,\cos\theta -g\right)

Assim, as equações de evolução para o ângulo, \theta, e a velocidade angular, \omega, do pêndulo são


\begin{align}
  \dot{\theta} &= \omega &
  \dot{\omega}& = \sin\theta\left(\omega_b^2\,\cos\theta -\frac{g}{l}\right)
\end{align}

O lado esquerdo da figura abaixo mostra o retrato de fase correspondente a essas equações, no caso em que a velocidade angular da base, \omega_b, for menor que \sqrt{g/l}. Existem dois pontos de equilíbrio, em \theta=0 e \theta=\pm\pi; o primeiro ponto é um centro, e o segundo ponto é um ponto de sela.[1]

Retrato de fase dum pêndulo com l=0.5m quando a velocidade angular \omega_b da base é igual a 2s^{-1} (lado esquerdo) e 10s^{-1} (lado direito).

O lado direito da figura acima mostra o retrato de fase quando a velocidade angular da base, \omega_b, for maior que \sqrt{g/l}. O ponto de equilíbrio em \theta=0 torna-se instável, passando a ser um ponto de sela com dois ciclos homoclínicos.

Dentro de cada ciclo homoclínico há um novo centro. O sistema poderá oscilar em forma repetitiva à volta de algum dos dois centros.[1]

Diz-se que o sistema sofre uma bifurcação em \omega_b=\sqrt{g/l}. Imagine que a base do pêndulo estivesse inicialmente em repouso, e o pêndulo na posição de equilíbrio estável, com \theta=0 e \omega=0. Se a base começar a rodar com aceleração angular positiva, chegará um instante em que o estado do pêndulo se torna instável, e qualquer pequena perturbação faz com que o pêndulo suba abruptamente para uma das duas novas posições de equilíbrio estável.

Como normalmente existe alguma incerteza experimental associada às medições de \theta=0 e \omega=0, isso implicará a impossibilidade de prever para qual dos dois novos pontos de equilíbrio irá subir o pêndulo, quando \omega_b atingir o valor que produz bifurcação.[1]

Outro exemplo físico simples com bifurcação, já estudado por Leonhard Euler no século XVIII, é uma barra flexível, por exemplo uma régua plástica apoiada numa mesa, e com uma força externa F que faz com que permaneça na posição vertical. Se F não ultrapassar um valor crítico F_c, a régua permanecerá direta e em equilíbrio. Se a força F ultrapassar o valor crítico F_c, a régua encurva-se, até ficar numa nova posição de equilíbrio em que o centro da régua está afastado uma distância \Delta x da vertical. Acontece que o desvio da barra pode ser para a direita ou para a esquerda da vertical. Nomeadamente, existem dois pontos de equilíbrio com \Delta x positiva ou negativa.

Em função de F, o ponto de equilíbrio \Delta x = 0, para F <
F_c, separa-se em dois pontos de equilíbrio, \Delta x >0 e \Delta
x <0 para F > F_c. [1]

Trata-se de uma bifurcação: em \Delta x = 0 ainda existe uma posição de equilíbrio, mas é bastante instável. Aparecem duas novas posições de equilíbrio com \Delta x positivo e negativo. Com uma régua que seja bastante reta e simétrica em relação às deformações para os dois lados, será difícil prever para qual dos dois lados irá inclinar-se, quando F aumentar por cima do limiar de bifurcação.[1]

Idéias básicas[editar | editar código-fonte]

As idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico básico são três:

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa [ Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 01 jul. 2013.
  2. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.
  3. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.
  4. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.
  5. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.
  6. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.
  7. [ Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN972-99396-0-8. Acesso em 12 julho. 2013.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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