Teoria dos erros

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O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.).

Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real.

Tipos de erro

• Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:
  • Sistemáticos - Erros que actuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação.
  • Fortuitos - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
• Erros de truncatura - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
• Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos.

Erro absoluto e erro relativo

Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística.

Seja $X$ um número com valor exacto e $x$ um valor aproximado de $X$. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X

Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X.

Como geralmente não temos acesso ao valor exato $X$, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de $\Delta$. Este valor designa-se de $\bar{\Delta}$. Satisfaz a condição:

O mínimo do conjunto dos majorantes $\bar{\Delta}$ de $\Delta$, chama-se "erro máximo absoluto" em que $x$ representa $X$.

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com $m$ casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:

Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.

Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de $X$.

$\delta = \frac{\Delta}{|X|}$

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se $\Delta$ muito menor que $X$ então,

$\delta = \frac{\Delta}{|X|}\le \frac{\bar{\Delta}}{|x|}$

Primeiro problema fundamental da teoria dos erros

Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. Erro na avaliação de funções de uma variável

$\Delta x \le |f'(x)|\Delta \bar{x}$

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

$\Delta x \le \sum_{k=1}^N |\frac{\delta f}{\delta x_i}|\bar{\Delta x_i^0}$

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros

Problema inverso da teoria dos erros

O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados $x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0$ de $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ para que $f(x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0)$ seja um valor aproximado de $f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ com erro máximo absoluto inferior a um valor $\epsilon$ pré-estabelecido.

Por simplicidade escolhe-se entre:

1. Princípio das influências iguais
2. Princípio dos erros iguais