Teoria dos erros

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O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.).[1]

Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real.

Tipos de erro[editar | editar código-fonte]

  • Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:
    • Sistemáticos (nos dados de entrada) - Erros que atuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação. A coleta de dados decorrente de medidas das observações e experimentos, na maioria das vezes, traz consigo erros que são inerentes aos próprios instrumentos de medida.
    • Fortuitos (gerados pelo modelo) - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
  • Erros de truncatura - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade.É preciso fazermos a substituição de uma expressão ou fórmula infinita por uma finita ou discreta. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
  • Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos.

[2]

Erro absoluto e erro relativo[editar | editar código-fonte]

A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximação, é preciso saber como estimar e delimitar o erro cometido nessa aproximação. Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística.[3]

Seja X um número com valor exacto e x um valor aproximado de X. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X

Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X.

Como geralmente não temos acesso ao valor exato X, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de \Delta. Este valor designa-se de \bar{\Delta}. Satisfaz a condição:

O mínimo do conjunto dos majorantes \bar{\Delta} de \Delta, chama-se "erro máximo absoluto" em que x representa X.

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com m casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:

Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.

Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de X.

\delta = \frac{\Delta}{|X|}

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se \Delta muito menor que X então,

\delta = \frac{\Delta}{|X|}\le \frac{\bar{\Delta}}{|x|}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Sejam os valores x=0.000006 e \bar{x}=0.000004, o erro absoluto é de 2x10-6 e o erro relativo é de 0,33333...

Seja p=\scriptstyle{\pi} e p*=3,1416, o erro absoluto é de 7.346x10-6 e o erro relativo é de 2.338x10-6.

Seja v = 40320 e v*=39990, o erro absoluto é de 4.2x10-2 e o erro relativo é de 1.042x10-2. [4] [5]

Primeiro problema fundamental da teoria dos erros[editar | editar código-fonte]

Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. Erro na avaliação de funções de uma variável

\Delta x \le |f'(x)|\Delta \bar{x}

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

\Delta x \le \sum_{k=1}^N |\frac{\delta f}{\delta x_i}|\bar{\Delta x_i^0}

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros

Problema inverso da teoria dos erros[editar | editar código-fonte]

O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0 de x_1, x_2, x_3, ..., x_n para que f(x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0) seja um valor aproximado de f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) com erro máximo absoluto inferior a um valor \epsilon pré-estabelecido.

Por simplicidade escolhe-se entre:

  1. Princípio das influências iguais
  2. Princípio dos erros iguais

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf Teoria dos Erros - Unesp
  2. Aspectos teóricos e computação,Cálculo Numérico; 2ªEdição-,Ruggiero, Lopes,Editora Pearson
  3. http://www2.fisica.uminho.pt/Topicos%20de%20Fisica/Elementos%20de%20teoria%20de%20erros.htm Elementos de teoria de erros
  4. Cálculo numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos,Sperandio,Mendes e Monken, editora Pearson 1ª reimpressão,2003
  5. Análise Numérica,Burden e Richard L., editora Thomson, 2003

Ligações externas[editar | editar código-fonte]