Teoria ergódica

A teoria ergódica é uma área da matemática que estuda sistemas dinâmicos munidos de medidas invariantes.

Uma transformação que preserva a medida $T$ em um espaço de probabilidade, se diz que é ergódico se um conjunto mensurável que é invariante sob $T$, tem medida 0 ou 1. Um antigo termo para esta propriedade era metricamente transitivo.

Definição de ergódico

Considere a média no tempo de uma função f de "bom comportamento" ou regularidade. Esta se define como a média (se existe) sobre iterações de $T$ iniciando em algum ponto inicial $x_{0}$:

${\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right).$

Considere-se também a média no espaço de f, que se define como:

${\bar {f}}=\int f\,d\mu ,$

onde μ é uma medida no espaço de probabilidade.

Em geral, a média no tempo e a média no espaço não são necessariamente iguais.

Mas se a transformação é ergódica, e a medida é invariante, então a média no tempo é igual à média no espaço, exceto talvez para um conjunto de medida 0. Este é o famoso Teorema ergódico em forma abstrata, elaborado por George David Birkhoff.

O teorema da equidistribuição de Weyl é um caso especial do Teorema ergódico, que se baseia na distribuição de probabilidade no intervalo unitario [0,1].

Transformação ergódica

Dado $T:X\to X$ sendo uma transformação preservante de medida em um espaço de medida $(X,\Sigma ,\mu )$. Um elemento A de $\Sigma$ é T-invariante se A difere de $T^{-1}(A)$ por um conjunto de medida zero, i.e. se

$\mu (A\bigtriangleup T^{-1}(A))=0$

onde $A\bigtriangleup B$ denota diferença de simetria da teoria dos conjuntos de A e B.

A transformação T é dita ser ergódica se para cada T-invariante elemento A de $\Sigma$, qualquer A ou X\A tem medida zero.

Transformações ergódicas capturam um fenômeno muito comum em física estatística. Por exemplo, se idealiza-se do espaço de medida como um modelo para as partículas de algum gás contido em um recipiente limitado, com X sendo um finito conjunto de posições que as partículas preenchem a qualquer momento e $\mu$ a cálculo de medida em X, e se T(x) é a posição da partícula x após uma unidade de tempo, então a afirmação que T é ergódico significa que qualquer parte do gás o qual não está vazio nem o recipiente inteiro é misturado com seu complemento durante uma unidade de tempo. Isto é claro um razoável suposição de um ponto de vista físico.