Terceiro problema de Hilbert

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Na matemática, o terceiro problema de Hilbert foi proposto por David Hilbert em 1900, sendo esse um dos seus 23 problemas. Esse problema consiste em provar que, se dois poliedros tem o mesmo volume, então é possível decompor um deles em outros poliedros menores e reconstruir estes poliedros formando o outro. Hilbert supôs que a resposta para o problema seria negativa. Este problema foi resolvido por seu aluno Max Dehn.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Conforme explicou Hilbert:[1]

Em duas cartas a Gerling, Gauss mostrou-se preocupado que alguns teoremas da geometria dos sólidos dependiam do método da exaustão, ou, na nomenclatura moderna, no axioma da continuidade (ou no axioma de Arquimedes). Gauss menciona, em particular, o teorema demonstrado por Euclides, que duas pirâmides de mesma altura estão para si como suas bases. O problema análogo para a geometria plana foi resolvido. Gerling também teve sucesso ao provar a igualdade de volume para poliedros simétricos, dividindo-os em partes congruentes. Apesar disto, parece ser provável que uma prova genética deste teorema de Euclides seja impossível. Isto seria resolvido ao se exibir dois tetraedros de mesma base e mesma altura, mas que não possam ser quebrados em tetraedros congruentes, e que não possam ser combinados com tetraedros congruentes para formar poliedros que possam, estes, serem quebrados em tetraedros congruentes.
Uma das várias formas de mostrar o teorema de Pitágoras através da decomposição e recomposição de polígonos congruentes.

Euclides havia demonstrado o teorema de Pitágoras através de uma decomposição deste tipo: a partir de dois quadrados, cujos lados eram os catetos do triângulo retângulo, Euclides cortou a figura e remontou, formando um quadrado cujo lado é a hipotenusa.[2]

Esta propriedade pode ser chamada de congruência por tesoura (no original, scissors congruence), ou seja, dois polígonos (ou poliedros) P e Q são congruentes quando é possível decompor ambos P = P_1 \cup P_2 \ldots \cup P_n\, e Q = Q_1 \cup Q_2 \ldots \cup Q_n\,, onde a união é disjunta a menos de uma aresta ou menos (no caso dos polígonos) ou face ou menos (no caso dos poliedros) e os elementos de mesmo índice são congruentes. Em outras palavras, é como se uma das figuras fosse cortada e rearrumada para formar a outra.[2] [3]

O Teorema de Bolyai-Gerwien, de 1833, mostrou que a congruência por tesoura é equivalente a dois polígonos terem a mesma área, ou seja:[2]

Dois polígonos que tem a mesma área são congruentes por tesoura

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Uma decomposição de um poliedro P é uma coleção finita de poliedros P1, P2, ... Pn cuja união é P, e cuja interseção, par a par, é formada apenas de faces, arestas ou vértices.[2] [Nota 1]

Dois poliedros P e Q são congruentes por tesoura quando existem decomposições P1, P2, ... Pn e Q1, Q2, ... Qn, respectivamente, de P e Q, tal que cada Pi é congruente a Qi.[2]

A pergunta de Hilbert, então, para a qual ele esperava uma resposta negativa, era:[2]

Suponha que o volume de P seja igual ao volume de Q. É possível mostrar que P e Q são congruentes por tesoura?

Solução de Max Dehn: condição necessária[editar | editar código-fonte]

Max Dehn, aluno de Hilbert, resolveu este problema em 1902[2] (ou 1900 e 1901).[3] A demonstração envolveu a construção de um novo invariante, que foi denominado invariante de Dehn, e que envolve uma conta sobre os ângulos diedros e comprimentos das arestas, calculados sobre as arestas do poliedro.[2] [4] [3]

Este invariante, δ não é alterado através da decomposição e recomposição. Porém, para um tetraedro regular e um cubo, de mesmo volume, temos diferentes valores para o invariante de Dehn.[2] [3]

Condição suficiente[editar | editar código-fonte]

Em 1965, Sydler mostrou que o invariante de Dehn é, também, condição suficiente para dois poliedros serem congruentes por tesoura, ou seja, se dois poliedros tem o mesmo volume e o mesmo invariante de Dehn, então é possível decompor um deles e remontar o outro.[2] [3]

Abrangência[editar | editar código-fonte]

Uma extensão pode ser feita ser feita quando se comparam poliedros de mesmo volume, cujas formulas de calculo de volume possam ser deduzida de outras maneiras, como num exemplo onde se encontram formulas de volume por decomposição e recomposição, pt.wikipedia.org/wiki/Usuário(a):Canisandfelis/Testes .

Notas e referências

Notas

  1. O texto de Champanerkar esqueceu de mencionar o caso do vértice.

Referências

  1. David Hilbert, citado por J. Gray, The Hilbert Challenge, Oxford University Press, New York, 2000, citado em Hilbert's 3rd problem.
  2. a b c d e f g h i j Abhijit Champanerkar, College of Staten Island CUNY, Scissors Congruence & Hilbert's 3rd Problem [em linha]
  3. a b c d e Vladik Kreinovich, Equidecomposability (scissors congruence) of polyhedra in R3 and R4 is algorithmically decidable: Hilbert's 3rd problem revisited [em linha]
  4. J. Gray, The Hilbert Challenge, Oxford University Press, New York, 2000.