Terno pitagórico

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Representação dos ternos pitagóricos com c<4500. A abcissa e ordenada correspondem ao números a e b e a distância à origem, o número c.

Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Fórmula de Euclides[editar | editar código-fonte]

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m^2 - n^2,\,
b= 2mn,\,
c = m^2 + n^2,\,

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem propriedades distintas.

3,4 e 5[editar | editar código-fonte]

O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo:

  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 3;
  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 4;
  • exactamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.

Obtenção de trios pitagóricos por fórmulas de álgebra geométrica[editar | editar código-fonte]

Dado um triângulo retângulo seja a o cateto menor, seja b o outro cateto, seja c a hipotenusa.

Dado t=2(c-b) e m=(a+b-c)/2(c-b) ou m = b/(a+c-b), a álgebra geométrica permite a obtenção das equações.

a = t(2.m + 1),b = t(2.m^2 + 2.m),  c = t(2.m^2 + 2.m +1).

Quando fixamos um valor para t e variamos o valor de m obtemos toda a série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro m define sempre a forma do triângulo, ou seja fixa os seus ângulos agudos.Isto fica evidente, porque a tangente dos ângulos agudos não possui o parâmetro t nas suas expressões.

Quando fixamos um valor para m e variamos o valor de t obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m. Porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.

Ternos pitagóricos primitivos[editar | editar código-fonte]

Para obtermos ternos pitagóricos primitivos devemos ter:

Valores inteiros para t,e valores fracionários para m tal que m=\frac{p}{q} com p,q inteiros,primos entre si e p>q \frac{\sqrt{2}}{2}.

Tomando como base o cateto menor temos uma série impar onde este cateto é sempre impar, e uma série par onde o cateto menor é sempre par.

Na série impar façamos t=q² e m = p/q sendo p>q \frac{\sqrt{2}}{2} e primos entre si, exceto q=1.

Logo :'a = 2pq + q² , b = 2p² + 2pq , c = 2p² + 2pq +q²' .

Neste caso temos q=1, p=1,2,3,4,5..., q=3, p=4,5,7,8,10..., q=5, p=4,6,7,8,9....

Com q=1 temos a=3,5,7,9,11..., b=4,12,24,40,60..., c=5,13,25,41,61... Com q=3 temos a=33,39,51,57,69..., b=66,80,140,176,260..., c=75,89,149,185,269....

Na série par façamos t= (q²/2)e m=p/q sendo p>q \frac{\sqrt{2}}{2} e primos entre si.

Logo: a = pq + q²/2 , b = p² + pq , c = p² + pq + q²/2

Neste caso temos q=2 , p=3,5,7,9,11..., q=4, p=3,5,7,9,11..., q=6, p=5,7,11,13,15...

Com q=2 temos a=8,12,16,20,24... , b=15,35,63,99,143... , c=17,37,65,101,145... Com q=4 temos a=20,28,36,44,52... , b=21,45,77,117,165... , c=29,53,85,125,173...

Obtenção dos outros ternos pitagóricos[editar | editar código-fonte]

Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6....

Ver também[editar | editar código-fonte]

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