Terno pitagórico

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Representação dos ternos pitagóricos com c<4500. A abcissa e ordenada correspondem ao números a e b e a distância à origem, o número c.

Em matemática, nomeadamente em teoria dos números, um terno pitagórico (ou trio pitagórico, ou ainda tripla pitagórica) é formado por três números naturais a, b e c tais que a²+b²=c². O nome vem do teorema de Pitágoras que afirma que se as medidas dos lados de um triângulo rectângulo são números inteiros, então são um terno pitagórico. Se (a,b,c) é um terno pitagórico, então (ka,kb,kc) também é um terno pitagórico, para qualquer número natural k. Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si. Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

As ternas pitagóricas apareceram em problemas na Matemática Babilônia e, posteriormente, foram estudadas no período grego pelos pitagóricos e por Platão e aparecem de forma explícita na obra de Euclides e nos estudos de Diofanto. Também foi estuda por alguns matemáticos islâmicos e, nesse caso, estavam relacionadas com o Problema dos Números Congruentes, um antigo problema que remonta à época do matemático italiano Leonardo Fibonacci.

Através dos séculos diversas gerações de estudiosos, cientistas e matemáticos têm tentado achar uma solução geral para esse problema, encontrando, na maioria das vezes, soluções parciais. Uma solução geral implicaria encontrar um algoritmo que permitisse determinar quando um número natural é congruente ou não.

O Teorema de Pitágoras (e, portanto, as ternas pitagóricas) é a mais bela jóia da tradição pitagórica. Como lembrança inesquecível da época escolar, ele pertence à base cultural comum da humanidade. O seu estudo introduziu uma radical inflexão intelectual entre a prática empírica e indutiva e a argumentação lógico-dedutiva, tanto no aspecto histórico cultural matemático como no âmbito escolar.

Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Pitágoras de Samos Nascimento: 571 a.C., Samos, Grécia Falecimento: 495 a.C., Metaponto, Itália Nacionalidade: Grego

Pitágoras, filosofo e matemático, nasceu em 572 a.C. em Samos, uma ilha grega no mar Egeu na costa da Asia Menor, na época pertencente `a Grécia, ele viajou pelo Egito e Babilônia, e segundo alguns historiadores, possivelmente foi até à Índia. Pitágoras mudou-se para Crotona, na atual Itália e ali fundou uma escola filosófica que muito se assemelhava a um culto religioso. A escola fundada por ele era secreta e ao mesmo tempo comunitária, onde conhecimento e propriedades eram comuns, possuía bases religiosas, matemáticas e filosóficas.

O filósofo e matemático Pitágoras, além de fundador e líder, era visto como profeta. A escola também praticava rituais de purificação através do estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia. Acreditavam na transmigração da alma de um corpo para o outro após a morte, portanto acreditavam na reencarnação e na imortalidade da alma.

Fórmula de Euclides[editar | editar código-fonte]

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m^2 - n^2,\,
b= 2mn,\,
c = m^2 + n^2,\,

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem propriedades distintas.

3,4 e 5[editar | editar código-fonte]

O primeiro terno pitagórico é formado pelos números 3, 4 e 5, já que 3²+4²=5². Mas os números 3, 4 e 5 desempenham um papel importante em todos os ternos pitagóricos. Pode provar-se, pela definição ou pela fórmula de Euclides, que num terno pitagórico primitivo:

  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 3;
  • exactamente um dos números a ou b é múltiplo de 4;
  • exactamente um dos números a, b ou c é múltiplo de 5.

As ternas pitagóricas no período babilônico[editar | editar código-fonte]

Um dos problemas babilônicos sobre raiz quadrada está ligado à relação entre o lado de um quadrado e sua diagonal. Essa relação é um caso especial do resultado conhecido como o teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. O nome desse teorema é em homenagem ao filósofo e matemático grego do século VI a. C., é indiscutivelmente o teorema elementar mais importante em Matemática, uma vez que as suas consequências e generalizações têm ampla aplicação. No entanto, é um dos primeiros teoremas conhecidos das civilizações antigas; de fato, há evidências de que ele era conhecido pelo menos 1000 anos antes de Pitágoras. (Katz, 1998, p. 30)

Katz sinaliza que há indícios da utilização de ternas pitagóricas em construções de templos megalíticos. Alguns estudiosos têm argumentado que as pedras dos templos na Inglaterra relacionadas com a astronomia e edificada no terceiro milênio a. C. foram construídas utilizando o conhecimento do teorema de Pitágoras e, em especial, ternas pitagóricas, ternas de inteiros (a, b, c) , tal que a² + b² = c². No entanto, a evidência disso é bastante tênue. (Katz, 1998, p. 30)

Além disso, conforme Katz há registros históricos comprobatórios em placas de argila do período de Hamurabi que comprovam o conhecimento, construção e utilização de ternas pitagóricas. Em especial, se tem a tabuleta Plimpton 322, que consta no acervo da Biblioteca de Livros Raros e Manuscritos da Universidade de Columbia, que foi estudada por Neugebauer e Sachs. O historiador Katz, em seu texto, reproduz em notação decimal o conteúdo dessa tabuleta e explica como o escriba babilônico conseguiu obter essas ternas pitagóricas.

Obtenção de trios pitagóricos por fórmulas de álgebra geométrica[editar | editar código-fonte]

Dado um triângulo retângulo seja a o cateto menor, seja b o outro cateto, seja c a hipotenusa.

Dado t=2(c-b) e m=(a+b-c)/2(c-b) ou m = b/(a+c-b), a álgebra geométrica permite a obtenção das equações.

a = t(2.m + 1),b = t(2.m^2 + 2.m),  c = t(2.m^2 + 2.m +1).

Quando fixamos um valor para t e variamos o valor de m obtemos toda a série existente de triângulos retângulos, todos diferentes entre si, pois o parâmetro m define sempre a forma do triângulo, ou seja fixa os seus ângulos agudos.Isto fica evidente, porque a tangente dos ângulos agudos não possui o parâmetro t nas suas expressões.

Quando fixamos um valor para m e variamos o valor de t obtemos toda a série de triângulos daquela forma definida pelo parâmetro m. Porém todos com diferentes áreas entre si, pois o parâmetro t é um parâmetro de escala, ou seja define a variação do tamanho ou área.

Ternos pitagóricos primitivos[editar | editar código-fonte]

Para obtermos ternos pitagóricos primitivos devemos ter:

Valores inteiros para t,e valores fracionários para m tal que m=\frac{p}{q} com p,q inteiros,primos entre si e p>q \frac{\sqrt{2}}{2}.

Tomando como base o cateto menor temos uma série impar onde este cateto é sempre impar, e uma série par onde o cateto menor é sempre par.

Na série impar façamos t=q² e m = p/q sendo p>q \frac{\sqrt{2}}{2} e primos entre si, exceto q=1.

Logo :'a = 2pq + q² , b = 2p² + 2pq , c = 2p² + 2pq +q²' .

Neste caso temos q=1, p=1,2,3,4,5..., q=3, p=4,5,7,8,10..., q=5, p=4,6,7,8,9....

Com q=1 temos a=3,5,7,9,11..., b=4,12,24,40,60..., c=5,13,25,41,61... Com q=3 temos a=33,39,51,57,69..., b=66,80,140,176,260..., c=75,89,149,185,269....

Na série par façamos t= (q²/2)e m=p/q sendo p>q \frac{\sqrt{2}}{2} e primos entre si.

Logo: a = pq + q²/2 , b = p² + pq , c = p² + pq + q²/2

Neste caso temos q=2 , p=3,5,7,9,11..., q=4, p=3,5,7,9,11..., q=6, p=5,7,11,13,15...

Com q=2 temos a=8,12,16,20,24... , b=15,35,63,99,143... , c=17,37,65,101,145... Com q=4 temos a=20,28,36,44,52... , b=21,45,77,117,165... , c=29,53,85,125,173...

Obtenção dos outros ternos pitagóricos[editar | editar código-fonte]

Para obtenção dos outros ternos, basta tomarmos cada um dos ternos Pitagóricos primitivos e multiplicar seus valores por 2,3,4,5,6....

Proposição 2.4. Existem infinitas ternas pitagóricas primitivas.[editar | editar código-fonte]

Demonstração: Dadas as ternas da forma (2m, m² − 1, m² + 1), ou seja, com n = 1. Se

usarmos m = 2k e k primo, temos que a = 2m = 4k só possui dois divisores primos, a

saber 2 e k. Porém b = m² − 1 e c = m² + 1 são ímpares, logo 2 não divide b e 2 não divide c, além disso k não divide b

e k não divide c. Portanto a, b, c s˜ao relativamente primos entre si. Como existem infinitos primos

k. Logo existem infinitas ternas pitagóricas primitivas da forma (2m, m² − 1, m² + 1).

Ternas Pitagóricas e Geometria[editar | editar código-fonte]

Podemos observar que em um triângulo retângulo ABC, com lados medindo a, b e c, o sen α =a/c e cos α =b/c são números racionais.

Proposição 3.2. Seja α um ângulo trigonométrico. Então:[editar | editar código-fonte]

(i) α é um ângulo pitagórico se, e somente se, o seu complementar é ângulo pitagórico.

(ii) Se α é um ângulo pitagórico então kπ ± α também ´e ângulo pitagórico para todo k ∈ Z. Em particular o seu suplementar é um ângulo pitagórico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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