Teste M de Weierstrass

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Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.

O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.

Notação e enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \{f_n\} uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto A, M_n uma seqüência de reais não-negativos, tais que:

  • |f_n(x)|\leq M_n para todo n>1\, e todo x\in A\,.
  • \sum_{n=1}^{\infty} M_n <\infty

Então:

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) converge uniformemente em A\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

O teste da comparação garante que a série numérica:

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) converge para cada x\in A\,

Seja f\, o limite pontual de f_n\, Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um \epsilon>0\,, da convegência da série formada pelos M_n\,, temos que existe um N\, tal que:

\sum_{n=N}^{\infty}M_n<\epsilon

Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.

\sum_{n=N}^{\infty} f_n (x) \leq \sum_{n=N}^{\infty} |f_n (x)| \leq \sum_{n=N}^{\infty} M_n <\epsilon

E o resultado segue, pois N\, não foi escolhido com base em x\,.

Generalização[editar | editar código-fonte]

A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas.

  • ||f_n||\leq M_n.

Ver também[editar | editar código-fonte]